金碧辉煌的圣殿 （2. Morley’s trisector theorem）

在我家的墙上，挂有两类图画，第一类是我拍摄的自然、风景照片，第二类并非什么李杜诗词之类，而是几幅相当优美（我以为）的几何图案。这几个几何定理不仅优美，而且是最近一百年左右“新近”被发现和证明的。比如下面镜框中的图案叫“Morley’s trisector theorem”，它被无数人忽视了2000多年，直到1899年才被数学家Frank Morley 揭示。我们后面细谈。

自从《几何原本》问世以来，古希腊数学家的聪明才智展现在世人的面前。随后，世界各民族、各文化的数学家又不断给这座大厦添砖加瓦。可以说，现在，欧式几何已经非常全面、完备了。一些困扰人们千年的难解问题也得到了明确的答案。我们可以用“尺规作图”作为例子来说明一下：

尺规作图（Compass-and-straightedge construction或 ruler-and-compass construction）是起源于古希腊、与欧式几何密切相关的作图法。该法使用圆规（无角度，但可无限宽）和直尺（无刻度，但可无限长），且只准许使用有限次，来解决几何作图问题。千百年来，人们使用尺规作图的原则，实现了各种简单或复杂的操作，比如下图中A、B、C分别是用尺规做线段的垂直平分线，角的平分线和正六边形，这些都非常简单。而图D是用尺规做正17边形，极其复杂，多达51步。但这个难得不可想象的做图，被德国著名数学家高斯在他大学二年级的时候攻克了。

然而，有些看似简单的问题，人们无论怎样努力，也无法用尺规作图来解决。比如用尺规作图法做正七边形，以及著名的尺规作图的“古希腊三大难题”——

** 化圆为方问题: 求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的相等；

** 三等分角问题: 求一角，使其角度是一已知角度的三分之一;

** 倍立方问题: 求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍。

这些问题，无论人们怎样努力，总是无法解决，又无法在欧氏几何的范围内证伪。两千多年过后，数学的其他分支发展到了新的高度。于是，数学家们便使用新的数学公具，证明了正七边形和“古希腊三大难题”，用尺规作图是不可能解决的。就好比说飞机无论飞得多快，也不可能飞到月球上去。上述这些工作，在十九世纪上半叶，也就是距今200年左右，就已经完成了。

那么，是不是可以说，从那以后，初等几何之中能够发现的规律，早已被发现和解决了呢？如果把欧氏几何比作一座金矿，经过2400年的开采，一般人似乎以为，金子早已经被开采完了。可是，欧氏几何的实际情况却不是这样的。即便是在100年前，独具慧眼的人还是能拾到金块，甚至是闪亮的“大金块”。Morley’s trisector theorem正是这样一个发现。

这个定理的表述极其简单（重要的话说三遍：复杂了就不美了）：对任意一个三角形，作内角三等分线，靠近公共边三等分线的三个交点，总是连成一个等边三角形。这个简单而优美的规律被人们忽视了2000多年，直到1899年被英裔美国数学家Frank Morley (1860 - 1937) 发现并证明。下面的链接显示其动态过程，颇有意思 ——

https://www.youtube.com/watch?v=rLuVuxrOxa8

Morley’s trisector theorem尽管非常明晰，证明起来却不是特别容易。最简单的方法是运用三角函数。当然也有基于欧氏几何的方法和纯代数的方法，这些网上都可以找到，难度在IMO试题之下。

Frank Morley的生平也是颇有意思的。他原是英国人，家里是开瓷器店的。他本人1884年剑桥大学毕业。三年以后他来到美国，先在宾州的Haverford College任教，几年里成果颇丰，包括发现这个非常优美的平面几何定理。他后来成了约翰霍普金斯大学数学系的主任，并在1919-1920年任美国数学学会的主席。在一生中，有多达50个PhD毕业于他门下。他1937年逝世后，美国数学学会这样评价他对美国数学的贡献 –

"...one of the more striking figures of the relatively small group of men who initiated that development which, within his own lifetime, brought Mathematics in America from a minor position to its present place in the sun."

Frank Morley还是一位很优秀的棋手。他曾赢过英国著名棋手Henry Bird，现在棋谱还保留着。他甚至有一次把国际象棋世界冠军、德国人Emanuel Lasker都赢了。后者也是一位数学家。我猜想两人是随便玩玩，不是正是比赛。

Frank Morley的太太是小提琴音乐家。他们育有3个儿子，个个在其行当中都很优秀。长子Christopher是一位小说家和诗人，著作颇丰；次子Felix是华盛顿邮报的编辑、撰稿人，曾获普利策奖；三子Frank Jr. 获得牛津大学数学博士学位，后与父亲合作撰写数学专著。他同时也是一位作家和出版商。

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