屠龙英雄和二次数学危机

写给那些，喜欢数学和不喜欢数学的人们
写给那些，了解数学家和不了解数学家的人们

实数，一条见首不见尾的神龙，它象一个幽灵一直在数学武林中徘徊，很久以来，数学高手们只是通过几何的直观了解它，至于它的内部结构了解甚少，它内部含有哪些类型的数，它们各有多少？神龙实数到底是周身通透连续的，一个数一个数紧挨着稠密地排列着的，还是象羊肉串，一段一段地串在一起的，这个问题困绕了数学武林高手几个世纪。

数学大神牛顿和莱布尼茨在十七世纪创建的微积分，由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决数学和物理问题的重要工具。一路走来，解决了不少数学，物理的实际问题，但忽视了严密的数学理论，微积分的基础很不牢靠，最后卡在了微分，积分，和求导中极限的无穷小量是什么的关口，究竟等于零，还是一个什么数？这不仅关系到微积分基础，也关系到整个数学大厦基础的问题。终于到了必须面对和解决实数这条神龙的结构问题，也就是数学的二次危机。

虽然经过数学大师柯西(法国数学家1789 - 1857)和魏尔斯特拉斯(德国数学家1815 - 1897)和其他一些数学家的努力，用他们创造性的工作，指出无穷小量和无穷大量都不是一个数而是一个变量，用ε-δ的数学语言定义了极限，虽然解决了一些问题，但实数的 连续性问题还是没有根本解决。

此时有两位屠龙英雄横空出世了，一位是德国数学家戴德金(1831 - 1916),他手执妖刀， 创造了戴德金分割法，象现在做微创手术一般，在神龙实数任何精细的部位用妖刀切割下去，然后观察分析刀口两边的数，用逻辑推理证明了实数这条神龙确确实实是连续的(此处略去五百个字)，而不是象羊肉串，一段一段地串在一起的。另一位是德国数学家康托，他的方法与戴德金的不同，他创建了集合论，仿照“庖丁解牛”之法，把神龙大卸若干，分门别类的聚在一起，证明了实数这条神龙不仅可以分为，自然数，有理数，无理数，代数数(它们是整系数代数方程的根)，还有超越数(如е和π)等集合，而且它们是有序地稠密连续地排列着的。虽然这些集合里的数都有无穷多个，但无穷之间也有差别，康托指明了超越数的个数比无理数要多得多，无理数的个数比有理数要多得多。无穷既有可数的无穷，象自然数全体集合，有理数全体集合，也有不可数的无穷，象无理数全体集合，和整个实数集合。康托先生破天荒地把无穷分成了不同等级，无穷的最低等级----可数无穷 名为阿列夫零(数学符号是ℵ0)。如果两个无穷集合相互之间能够一一对应就称为等势。 等势的意思就是两个集里的元素是“一样多”。比如，康托先生用了这样的办法，把整条龙的肉一寸一寸地切下来，排成队，编好号，把双数号的肉组成一个集合，整条龙的肉组成另外一个集合，然后用一一对应方法，

双数集 总体集
2 ← → 1
4 ← → 2
6 ← → 3
8 ← → 4
· ← → ·
· ← → ·
· ← → ·

结果双数集中的肉竟然和整条龙的肉一样多，局部等于整体，用有限的眼光是不可思议啊! 用无穷的概念却是顺理成章。

十九世纪末，在戴德金，康托和柯西，魏尔斯特拉等数学家建立了完备的(连续的)实数理论，而且在这基础上，导出六大完备性定理，确界原理，单调有界原理，区间套定理，海涅-博雷尔有限覆盖定理，柯西收敛准则，魏尔斯特拉斯聚点定理（波尔查诺致密性定 理)，为微积分奠定了牢固的基础，从后克服了二次数学危机。而康托的“连续统猜想”更是开辟了数学的新时代。人们可以对“集合宇宙”有一个这样的感性认识：它是“天外有天”，是“数学界的黑洞”。康托创建的集合论是现代数学的基础，许多新的学科在它的基础上产生和发展起来的，如群论、环论、拓扑、泛函等。(夕阳语曰：康托的“连续统猜想”这问题提出后，许多数学家想要证明，但是不能成功。直到1963年在美国斯坦福大学读书的25岁青年保罗·柯恩（Paul Cohen）解决了这个问题，他的证明只有五页长 登在《美国国家自然科学院会讯》〔Proc．Nat．Acad．Sci．U．S．A．50（1963），1143—1148〕) 。

正是这样，数学武林迎来了群星灿烂，百星相争的二十世纪。

当巴黎圣母院的钟声响起，迎来了二十世纪第一次数学武林大会，在万众瞩目中，德国哥廷根学派全盛时期的掌门人、数学武林中的“无冕之王”、“数学界的亚历山大”希尔伯特出场了，他首先高度赞誉康托的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。然后发表了题为《数学问题》的著名演讲，他打开他深居庙堂，苦心研究的希氏宝典，亮出了他研究的二十三个新套路，套路之广，遍及分析，代数，几何，数论各大流派，套路之新，前所未闻，套路之难，难于上青天。尽管如此，各路武林高手听了却欢呼雀跃，个个磨拳擦掌，跃跃欲试。(夕阳语曰：希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决和部分解决。还有一些我们熟知的问题，如黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，一般代数数域的阿贝尔扩张等没有解决。)

武林大会的地主是法国最伟大的数学家之一，理论科学家和科学哲学家亨利·庞加莱。庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后一个全才数学家。他对数学、数学物理和天体力学做出了很多创造性与基础性的贡献。他提出的庞加莱猜想是数学中最著名的问题之一。最后，他作了总结发言：“(数学)精神具有创造符号的能力，从而正是精神，构造了只是符号特殊系统的数学连续统。其能力只是受到避免矛盾的必要性的限制；但是，只有经验向精神提供刺激物，精神才能利用这种能力。让我们齐心合力共同奋进吧！”说着，将帅旗一挥，几何、代数、分析三军齐发，十八路诸侯摇旗呐喊，各英雄干将攻城拔寨，一路掩杀，直取中原，大有直捣黄龙之势。按下不表。

却说三军行至峡谷，四周天昏地暗，忽听一声英国号响，刹那间，火把四起，火光亮处，但见一帜旌旗，上面绣着斗大的一字“罗”，一将横枪立马挡住去路，此将军不是别人，正是英国数学家，诺贝尔文学奖获得者伯特兰·罗素伯爵，众将怕有闪失，便勒住马，不敢近前。只听得罗将军大喝一声道，“谁能解理发师悖论耳？”声如巨雷，三军上下闻之，个个面露难色，不敢作答，悄然偃旗息鼓，鸣金而退。(夕阳语曰：著名的理发师悖论是伯特兰·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。)

欲知后事，请听下回分解。

此文摘自夕阳红红“星光灿烂：二十世纪100位数学巨星排行榜”。