得数学者得天下(下)

其故

[本文作者是毕业于加州大学伯克利的博士。鉴于文章较长，现将此文分成三部分刊出。为方便读者，参考文献在每部分的结尾都重复列出。]

6. 数学有用吗?

经常遇到很多人问的一个问题是: 数学有什么用? 某数学教授到中学讲课, 校长要求他回答学生的问题: 数学的用处难道就是刷题? 教授忍着没说的话是: 数学有很多用处, 但你们所学的数学的用处就是刷题。

小学生做很多数学应用题, 中学生却很少做甚至不做, 当然也就越来越脱离应用。这不是数学的问题, 而是教育的问题。

还有一种常见的论调, 说生活中只需要用到小学的数学, 更深的数学没用。实际上现在大多数人学的数学都是很成熟的数学, 只要学通了都很有用。五十年前根本听不到“数学有用吗”这样的质疑, 因为那时的中学数学教育没有今天这么脱离实际。中学生在数学的应用方面应该比小学生有更高的要求, 不仅要会做应用题, 而且要能够将实际工作中的问题转化为数学问题并予以解决, 就是说要培养数学建模的能力。

华罗庚先生当年做数学普及报告, 经常举日常生活中应用数学的生动例子。

由于经济的发展, 当今数学在生活中的应用远超过五十年前, 只是很多人视而不见。我们下面举一些经济生活中的例子, 从中可以显示出数学素质即使在普通人的生活中也起着显著的作用。

例 1. 甲乙两个公司招聘, 甲公司采用年薪制(以一年为单位定工资标准), 起薪(开始工作时的工资)为每年100000元, 以后逐年增加,每次年薪增加6000元; 而乙公司采用半年薪制(以半年为单位定工资标准), 起薪为每半年50000元, 以后每半年增加一次,每次(半年薪) 增加2000 元。哪个公司的条件更优惠呢?

很多人(可能是大多数人)认为, 两个公司的起薪标准是一样的, 而乙公司每半年增加 2000 元,就是每年增加4000元, 不如甲公司的每年6000元高。

但如果能根据两个公司的条件列出薪金公式, 就得到甲公司第n年的工资数为

100000+6000(n-1)

而乙公司第n年的工资数为

100000+2000(4n-3)

再计算二者的差得到

 [100000+2000(4n-3)]-[100000+6000(n-1)]=2000n

即乙公司第 n 年的工资数比甲公司高 2000n。

而初一代数没达标的人是做不到这些的。

例 2. 经常到商店买东西就会看到, 商店常用各种打折等优惠来吸引顾客。

例如, 某商店采用``礼券''优惠, 每购买100元的商品, 该店赠送50元``礼券'', 不足100元的部份略去不计(例如购买888元的商品可获赠400元的礼券); 礼券的用法是: 每购买100元的商品, 可使用该店的50元礼券当作50元支付, 不足100元的部份略去不计(例如你有足够多的礼券, 那么购买560元的商品可使用250元的礼券, 剩下的560-250=310元则要用现金支付, 注意由于你付了310 元现金, 商店还要再赠送你150元的礼券)。

按这样的办法, 顾客究竟能获得多少(相当于几折)优惠呢? 媒体宣传说相当于差不多五折优惠。如果中学数学学得好, 可以自己推导出总的优惠至多接近(但小于)。要把这个问题完全搞清楚, 需要用到一点微积分。

例 3. 要买一台新电视机, 买什么样的呢? 一个有良好数学素质的人会这样作决定:在``量入为出''的范围内, 尽可能寻找最喜欢的, 或者在自己喜欢的电视机中, 寻求价格最低的, 这两种选择都是``优化''。前面说过, “优化”是运筹学的重要基本概念。

优化在经济生活中经常可以用到。例如一个新建的公园, 要决定门票的价格, 是尽量高还是尽量低, 抑或``不高不低''? 明智的决定方法是: 首先确定一个目标, 就是获得尽可能高的门票总收入, 按照这个目标来确定门票价格。这就是价格``优化''的方法。遗憾的是有些公园没能这样做。

在国外的一些针对非理工科学生的微积分教科书中, 常有这类问题的例子, 如一个收费站如何订收费标准才能收尽可能多的费, 一个工厂在给定的原料价格、工资标准和税收政策下如何获得最大的利润, 等等。

例 4. 古代“守株待兔”的故事说, 一个偶然得到兔子的宋国人放下田里的活不做, 成天专等兔子撞树, 结果是“兔不可复得, 而身为宋国笑”。

但嘲笑守株待兔的理由, 不应是财迷或懒惰等, 而应是愚蠢。那么守株待兔者愚蠢在什么地方呢? 在于希望一个概率很小的事件重复发生。

象这样的小概率事件在生活中是经常遇到的, 例如抽奖彩票, 也许100万张里有一张奖一辆摩托车, 那么一张彩票抽中摩托车的概率是0.000001。很多人都抽过某种奖, 作为一种游戏玩玩也无妨, 但不能“走火入魔”, 成天除了抽奖什么别的工作也不做 (如果抽奖也算一种“工作”的话), 希望靠抽奖过日子, 那就成了新时代的“守株待兔”了。

例 5. 在当今这个“信息爆炸”的时代, 一个人每天都会获得大量的信息, 这些信息中总有很多错误的甚至假的, 而鉴别信息的真假需要很好的数学素质。

例如前不久普遍流传的两条信息: 一条说“培养一个飞行员需要几十吨黄金”, 一条说“中国一户人家每月的网费最低要67美元 (比美国高得多)”。这两条信息的造假手段都是“转换单位”, 如果以人民币为单位是骗不了任何人的。反过来说, 一个不会单位换算的人遇到这种谣言就容易被骗。

这类谣言可以称为“数学谣言”, 其中主要(甚至唯一)的造假处是“数”。遇到这样一个耸人听闻的标题时贸然点击阅读, 即使不上当受骗至少也贡献了“点击率”, 间接地帮助了谣言的传播。

例 6. 有一类曾经很流行集资组织俗称“老鼠会”, 其规则一般是: 每个人要

交一笔“会费”才能参加, 如果能发展10名新会员, 就可以升一级并获得奖励 (奖金当然来自新会员的会费),如果下一级的会员都升了一级, 自己也就跟着又升一级并且得到更高的奖励。

人们称老鼠会是“金字塔式”的: 最高一级只有1个人, 下一级有10个人,再下一级有100个人, 等等。 不久以后, 在金字塔高层的人已经非常富有,这诱使越来越多的人参加, 可是有一天, 人们突然发现这个“老鼠会”倒闭了,所有新会员的会费都白交了, 人们愤怒地追查金字塔顶端的人, 可他们已经失踪了, 于是人们到法院控告他们诈骗 ......, 这种故事屡见不鲜。

不过, 如果这些金字塔顶端的人不携款潜逃, 而是跟着人们上法庭, 他们会被判有罪吗? 他们可以为自己辩护说, 他们的公司是合法注册的, 规章是公开的,他们并没有违规, 而集资本来就有风险, 会员都是自愿参加, 参加时也知道有风险并签了协议。现在破产受损失,公司没有责任。

这类集资支付利息的方法一般是“拆了东墙补西墙”, 即用后来入会者交的钱给先前入会者支付利息。这就是所谓“庞氏骗局”。

如果有较好的数学素质, 就有“指数速度”远快于“线性速度”的直观。遗憾的是很多人没有这样的数学素质, 所以缺乏警惕。例如老鼠会的情形, 假如每个会员每月发展10名新会员, 那么一个月后会员人数增加到10倍, 两个月后增加到 100 倍, 由此立刻可以算出,10个月后会员将有100亿, 超过地球上的人口总数!

这显然是不可能的, 实际上老鼠会的发展方式维持不了多久, 一般在几个月到十几个月后就发展不下去了, 这时就会破产。而老鼠会的任何广告或介绍中都不会说明这一点。所以这种集资方式本质上是“数学诈骗”。

上面这些例子足以说明, 中学数学素质对经济生活有很大的影响。

而对于很多工作, 尤其是科技领域的工作, 数学素质的影响更大。

7. 得数学者得天下

前不久任正非在答记者问(参看 [12])中说, 华为雇用了七百多个数学家, 还有很多物理学家和化学家。这使很多人震惊。但很少有人进一步追问这些科学家都在研究什么, 需要怎样的数学素质; 还有, 这些科学家都是来自哪些国家,其中有多少中国人。

如果知道这些, 就不会崇拜所谓“学霸”或“状元”了。

今天所说的“得数学者得天下”有两重意思: 一是一个国家或民族的振兴要依靠全民数学素质的提升和众多具有高数学素质的人才, 二是一个人的工作能力和发展前途(包括就业机会)与个人的数学素质密切相关。

先说国家民族层面的。很多人都听到过“高技术本质上是数学技术”这样的说法, 不过要理解这一点, 需要对于高技术有所了解, 而且需要有较高的数学素质。遗憾的是, 在网上经常看到的是对此的质疑(参看例如[5])。由此也可见公众的数学素质亟待提高。

很多人可能还听说过“海湾战争是数学战”这个说法。海湾战争之前, 萨达姆宣称一旦开战他们要点燃科威特的油井阻挡美军, 当然这会造成严重的污染。是否会造成全球的不可挽回的灾难, 这是全世界都在担忧的问题。对此美国数学家建立了一个数学模型, 经过模拟计算, 证明这样造成的灾难是可控的。因此美军不惧萨达姆的威胁。后来萨达姆确实点燃了油井, 而结果与模拟计算一致。

此外, 在战争的准备阶段, 美军的调动运用了运筹学, 大大缩短了准备时间, 从而保证了战争的突然性。

从国家层面看, 在经济、行政、金融、军事、发展规划等很多方面, 都需要有很高数学素质的人参与决策。很多大公司的决策也需要高数学素质的人参与。

再说个人层面的。数学素质能影响很多方面的工作(参看例如 [14])。举例说, 初中平面几何所培养的逻辑性,可使作家写推理小说避免逻辑漏洞; 很多人写文章会混淆命题和逆命题, 而鲁迅的论辩文章经常抓住论敌的这类逻辑漏洞(足见鲁迅的数学素质); 数学的逻辑训练对于法官断案和律师辩护是必要的; 音乐家也需要很好的数学素质, 因为现代和声学、曲式学等都应用了较深的数学; 哲学家如果没有很好的数学素质, 就不能读懂黑格尔的书; 公司对于产品的定价需要运筹学; 工程的管理也需要运筹学; 程序员如果懂得优化, 可使所编的程序运行速度快且占用内存少, 等等。前面已经看到很多其他方面的例子。

这里所涉及是数学, 一般都不是前沿数学, 而是几十年前甚至更早时期的数学。而在数学的发展中,老的数学越来越成熟, 越成熟就越使普通人容易学懂。所谓数学素质, 简言之就是学懂了数学并能自觉独立运用的能力。

那么数学素质如何培养? 数学教育有其特殊的规律, 在一般的教育学中完全没有涉及(参看[4])。因此, 很多中学招聘数学教师, 宁可要数学专业出身但没学过教育学的, 也不愿要教育学出身但数学基础薄弱的。而让数学素质差的“教育家”指导数学教育则更是有害的。

我国历史上曾经有很多优质的数学教育和教材。民国时期采用较多的《3S平面几何》、《范氏大代数》等都是高水平的教科书, 而且是傅种孙、吴文俊等大师翻译的, 后来国内编写的教科书质量也很高; 解放初期所编写的数学教科书质量也都很高, 即使当时东北编的职工业余教材也远比当今的统编教材水平高; 1960年代的教科书, 内容有所弱化, 但基本架构未变。1977年恢复高考以后, 中学所采用的教科书基本上是翻印1960年代的教科书, 一直用1980年代。

1950-60年代在华罗庚先生的倡导下, 很多顶尖数学家参与中学数学教育, 写出了很多高水平(甚至在国际上也属高水平)的中学生读物。此外, 华罗庚先生还倡导和力行为中学生讲课、举办数学竞赛等 (参看[7]), 都取得了显著成效, 是培养数学素质的很好途径。

发达国家都很重视科技人才的培养, 其中数学教育是一个重要因素。 法国、英国、以色列、俄国、日本等国在中学数学教育方面都有很好的经验值得我国借鉴(参看[9])。例如法国的高水平中学在高中时已学习相当于我国的大学课程,中学毕业生预修一两年可参加Ecole入学考试, 若考取基本上相当于我国的直博, 而Ecole入学数学试题比我国的研究生入学数学试题深而且难。我国中学数学教育如果做得好, 应该也可以达到这样的水平。实际上在多年前我国就有这样水平的中学(参看[15])。

8. 失数学者失天下

近来美国发动的所谓“贸易战”, 惊醒了国内的很多梦中人, 有些人甚至感到了危机。其实危机本来就存在, 姜树生([5])在2015年就曾质问: 难道现在就不是“中华民族到了最危险的时候”?

然而“贸易战”打了一年, 中国所受的损失, 连“伤筋动骨”都谈不上。这实在不象个现代战争的样子。本来在经济、金融、贸易等领域, 所涉及到的数学比局部战争更多而且更深, 然而与海湾战争相比, “贸易战”在数学上差远了, 既没有建数学模型, 也没有用运筹学, 遑论更多更深的数学了。

如所周知, 美国是数学强国, 比中国强太多了, 例如美国有很多菲尔兹奖获得者而中国一个也没有。美国的数学教育也是世界上最强的之一, 例如领导国际数学发展潮流的Tate, Langlands等都是在美国获博士学位的。我国近年来有很多年轻的数学英才是美国培养出来的。

可是,在我国经常看到媒体宣传“中国数学教育碾压美国”, 这反差实在太大, 对美国稍有了解的人都会认为媒体胡说八道。但这“胡说八道”却是“情有可原”的, 因为美国的精英教育与普及教育严重分裂, 而我国媒体一般对于美国的精英教育毫无了解, 是用中国全民的教育与美国的普及教育相比,玩了“田忌赛马”。

不过美国的数学普及教育确实很烂, 这使得美国大多数人, 包括大多数政客的数学素质很低。尤其是决策者, 他们自己不懂得运筹学不会建模, 却也不找数学家来帮助决策。这样看来, 中国遇到今天的“战局”颇有侥幸的因素。

但中国不能靠侥幸。提高公民的数学素质,培养杰出的特别是尖端的科技人才,才是救国的正道。

发达国家的数学普及教育一般也很强。 然而美国却是个明显的例外, 数学非常强, 数学精英教育也非常强, 但数学普及教育竟然很烂,这确是一个十分费解的矛盾。

为了理解这个矛盾, 建议读者读莲溪的文章[11](此文相当长,但需要认真读完才可能有点明白, 浮躁的阅读是没用的)。 我们下面假定读者已读过这篇文章,仅做一点提纲式的说明。

不久前, 网上忽然出现很多纪念和吹捧胡适的老师杜威的文章,看上去颇为令人奇怪: 被中国抛弃了70年的杜威怎么突然红起来了,还有那么多粉丝? 如果读了[11]就不难理解了: 杜威是美国教育大忽悠的始作俑者,他的事业后来被很多人发扬光大,形成了强大的政治势力,构建了一套所谓“进步教育”体系,制造了很多种垃圾教材和垃圾教育法。胡适当年也曾把杜威请到中国来,可惜忽悠完全失败。但近年来国内一些人(基本上都是文科的)将美国这个垃圾体系引入中国,并逐步占据了垄断地位。这些人崇拜杜威就不奇怪了。

自杜威以后,美国的所谓“教育学家”逐步把持了数学基础教育，使得大多数人无法获得哪怕最低限度的合格的数学教育，而大批数学素质极差的人又反过来压制数学教育，这就是政治。自此数学垃圾教育体系逐步取得主导地位,它足以给美国数学普及教育造成毁灭性的伤害。

这个垃圾体系的主张“看上去很美”:“探究式教学法”,“新数学”,“开放教育”,“建构主义”,“团队合作”等等(参看[2], [11]),还有“不让一个孩子掉队” (别以为这是共产主义思想)。然而“在市场上常常可以看到一种情况:那个叫喊得最凶的和发誓得最厉害的人,正是希望把最坏的货物推销出去的人”。

美国的有识之士对此看得很清楚(参看[11]),如1983年由里根政府教育部长任命的一个专委出台了一份题为“危险中的国家”的报告,其中警告说:“我们的国家正处于危险中……我们国家的教育基础正被平庸所侵蚀，威胁着我们国家和民族的未来。假想哪个外国敌对势力想通过使美国教育平庸化来搞垮我们的话，那么我们甚至可以将美国当前的平庸教育视为对美国的宣战”。可惜这些有识之士在政治上没有多大权力。

中国改革开放以后, 很多国外的教育方式被介绍到中国来。这方面的论文非常多, 其中大部分是“教育学家”的论文。对于数学教育, 美国的“进步教育”体系特别受到青睐, 逐步占据了垄断地位。如[11]中所说:“中国2000年公布的数学教育标准，在理念、措辞、行文等多方面几乎是美国1989年NCTM数学标准的翻版”(参看[1])。按此标准统编的教科书, 和美国的垃圾教科书已经在很多方面一致:

1. 放弃科学严谨性，经常用“大俗话”来解释科学概念(参看 [6]);

2. 内容避难就易, 以致没有一个课题的内容是完整的, 更没有系统性(参看 [17]);

3. 浅尝辄止, 而且把很多重要的甚至关键的内容留给学生自己解决(参看[6]);

4. 用技术代替数学(教科书中各章节都有所谓“信息技术的应用”,其实只是教具的使用说明);

5. 不分专题(如代数、平面几何、三角、立体几何、解析几何等), 笼统地称为“数学”, 而且将各课题交错地讲(多次重复造成很大的浪费). 等等。

由此可见, 我国目前大多数中学的数学教材, 是有史以来最差的(参看[13]), 而且在质量上直追美国垃圾教材。与美国比烂, 没什么可骄傲的。

比美国更严重的一点是, 中国的教育有极强的垄断性, 有了“课标”以后就会“严禁超纲”。美国至少还有精英教育的通道可以培养人才, 而在中国却无路可走。

如果不准农民的产量“超纲”, 不准工人的产品质量“超纲”, 不准军人的军事技术“超纲”, 不准企业的效益“超纲”,不准运动员的成绩“超纲”等等, 肯定都是行不通的, 而且大家都会觉得荒唐。唯独教育却能“严禁超纲”, 这足以说明教育是当今中国垄断最顽固的领域。

原有的好教材(包括参考书和课外读物等)都抛弃, 华罗庚等大师开创的优质教育方法也都抛弃, 国外数学教育的好经验也不引入, 偏偏一门心思引入美国的垃圾体系, 而且奉为圭臬。这究竟是为什么?

近来多次看到这方面的“阴谋论”, 说是“第五纵队”从中国内部破坏中国教育。但未见有什么证据。其实问题未必有这么复杂, 甚至只是一个“权”字而已。

一些数学素质很差的“教育学家”, 没有能力做生产性的工作, 好的数学和数学教育他们也理解不了,却满脑子“学而优则仕”, 要当官。他们所用的“理论”与1950年代的“外行就是要领导内行”, 1960 年代的“马克思要统帅X”之类并无本质区别, 只是当今“政治挂帅”不太容易唬人了, 改用“人文”, “哲学”, “教育学”等, 仍是摆出一副高高在上的姿态, 为掌握权力而忽悠。

因此, 教育垃圾能够横行, 优质数学教育被打压(如严禁“超纲”, 取消数学竞赛等, 连“华罗庚金杯”这样的国际高水平数学竞赛都被取消), 根本原因是为了维护和加强某些人的权力。为了自己的权力和利益不惜牺牲国家前途民族命运, 这样的人被称为“教育汉奸”是当之无愧的。

而他们掌握教育大权的结果, 将是进一步压低中国公民的数学素质, 并将高科技人才的培养掐死在中学阶段。

尽管“贸易战”使中国遇到很多的困难, 中国是不会被压垮的。中国若要垮, 必是由于内部的蛀虫, 即那些为了自己的权力和利益不惜牺牲国家前途民族命运的人。

因此, 为了挽救中国的危亡, 必须拯救数学教育。为此一要破除教育垄断, 二要将教育汉奸赶下权力的宝座。

为了排除伪“教育家”的干扰, 数学基础教育应由数学界主导, 尤其要依靠那些不计名利投入中学教育的数学大师们。

教育是当今大多数中国人忧虑的问题, 希望很多人能够不只是看到一些表面现象, 提出一些肤浅的诉求, 而是将眼界放开阔些, 对问题看得深刻些, 提出关键性的诉求。

国家兴亡, 匹夫有责。

参考文献

 [1] 初中数学新课程标准（2011年版）

 [2] 方帆: “探究式教学法”是一种垃圾教学法理论

 [3] 冯琦: 《数理逻辑导引》, 中国科学院大学教程 (2017)

 [4] 姜树生: 谈数学教育的特殊性 ---- 兼谈如何处理数学与教育学的关系. 数学通报 2008 年第 4 期

 [5] 姜树生: 李克强总理关于数学的发言与社会反响 (2015.4.)

 [6] 姜树生: 现行统编中学数学教科书有多烂 (2016.11.)

 [7] 李克正: 缅怀和发扬华罗庚先生对中国青少年数学人才培养的贡献 (2010.9.)

[8] 李克正: 《数学的哲学意义》 (首都师范大学讲义 2011-2013)

 [9] 李克正: 英国中学数学人才培养考察报告. 数学通报 2012年第10期

 [10] 李克正: 关于初等几何习题 (2018.5.)

 [11] 莲溪: 是谁夺走了美国人的数学能力？--美国百年数学战争演义

 [12] 任正非 2019 年 5 月 21 日答记者问

 [13] 咸道: 致家长

 [14] 严士健主编:  《面向 21 世纪的中国数学教育》. 江苏教育出版社 (1994)

 [15] 尹裕: 寻回美好的中学时代. 数学通报 2006 年第 1 期

 [16] 尹裕: 精英教育的迫切性与中国教育危机. 数学通报 2009 年第 4 期

 [17] 朱忠明: 中学数学教程和高校数学教程的衔接问题探讨 (2016.11.)

 [18] 朱忠明: 中学生数学素养测评模型的构建与实测研究 (2018.5.)