本人天主教徒，也读过新教版本的，正式回答这个问题。
有区别
1.次经问题：天主教承认次经的正典地位（按希腊七十士译本和拉丁武加大译本目录），新教不承认。这七卷书分别是：多俾亚、友弟德、智慧篇、德训篇、巴路克、玛喀伯上、玛喀伯下。新教圣公会属于部分承认其地位，将其视作灵修书，允许阅读，但不视作圣经（他们把这几卷单独翻译）。圣公会的翻译名称是：多比传、犹滴传、所罗门智慧书、便西拉智慧书、巴录书与耶利米书信、马加比上、马加比下。但其余新教派别不承认其地位，旧约目录直接按犹太塔纳赫的目录来（但顺序不是犹太的，而是天主教的）。
2.具体内容问题：天主教认为安德烈（兄）和伯多禄（弟）是兄弟关系，新教的是反过来，安德烈是弟弟，大哥是彼得。玛拉基亚的章节数，天主教是3章，新教是4章（把最后一章一分为二编码）。还有艾斯德尔传，天主教是有增补的，新教没有。于是天主教的艾斯德尔传里面有“天主”的出现，而新教的以斯帖记不包括任何关于神的出现，完全讲一段故事。天主教的达尼尔书比新教的但以理多两章，内容是关于巴尔和龙的，新教把这两章砍了。
3.翻译问题：新教的和合本是从英文翻译的，天主教的是从原文翻译的，而且里面人名、地名、术语称呼不同。对于圣经注释部分，天主教是统一版本的解释（圣经带注解和插图、地图），新教的没有插图和注释，只有地图。新教只能另外买注本（有宗派观点：如“鱼本”是福音派的，“火焰本”偏灵恩派，“启导本”和天主教相似，“灵修版”是改革宗的，“领导力”版则偏重于日常生活）。不过，新教也有“新译本”“吕振中”等原文翻译的，还有王正中的“寻根版”（和合本带有原文字典），也算是对英文翻译的补充了。另外，对于诗歌的处理不同，新教的方法是把诗歌和其他部分一样翻译成散文，但以分行的格式印刷。天主教是把诗歌里面的圣咏集翻译成韵文，分行印刷，其余当作散文。 雅歌部分，天主教翻译成类似剧本的文体，新教翻译成对话体诗歌。
4.官方或常用译本问题：天主教思高本和新教和合本之外，天主教另有萧静山译本和贺清泰古新圣经残稿（中华书局出版），新教另外有现代中文、文理、马礼逊，甚至太平天国版本（郭士立翻译）。圣公会一般会另外用他们自己翻译的次经全书。对于一些重要部分（如十诫、天主经），天主教另外有文言版本（仅供旧版祈祷手册使用），新教没有文言版本。
5.使用方法不同：天主教圣经因为版权原因，许多做学术论文的人很难使用，大多数人在论文引用时，还要用新教的，但也有部分学者用天主教，然后注明是思高本的。另外，东正教因为自己的现代汉语新旧约全书没有翻译出来（大体上和天主教相似，但多出来两卷），只好借用天主教的思高本（但不用注释）和新教的上帝版和合本（但对新教的翻译按照拜占庭文献进行部分修改）。另外，耶和华见证人不用新教版本圣经，而是另外翻译成新世界译本（但经卷和新教相似），李常受的召会用的是他们自己的“恢复本”（也是和新教相似），至于摩门教的圣经，我不太清楚。（总之，除了研究者，普通人不要去看为好，因为在中国不合法）当然，天主教不允许自由解释，新教允许。部分人还会看对方版本的，但多数人不会。
6.语言风格问题：天主教的思高本是国民党时期翻译的，翻译完成后，已经是共和国（1960年代）了，所以语气比较像当代普通人说话。新教的“和合体”文风来自于清末的语言风格，翻译完成时候，是北洋时期，所以有一些“中特誓”说起话会让人觉得别扭。