肺炎模型预测

(Feb 4 2020)

中国新型冠状病毒肺炎仍在中华大地肆虐，昨天(2月3日)的统计显示累计感染病人已经超过两万人，“治愈”人数近日呈现超过死亡人数的积极倾向，许多人开始期待“拐点”的出现。今用官方公布的数字做一数学模型，试图来推测疫情的变化发展。

病毒在大量人口中的传播可类比于“一级反应”，传播速度正比于处于传染期的病人数：

dN/dt = k N

其中的速度常数 k 可看作每个病人每天感染新病人的数目。这是一极简近似，可做如下修正改进：

(1) 病人的传染期是有限的，假定其为 t₂ , 病程超过 t₂ 的病人(痊愈或死亡)将不再具有继续传染的可能性，故

dN/dt = k (N_t – N _t-t2 )

(2) 该肺炎开始流行后，逐步引起政府，卫生机构和民众的注意，特别是1月23日以后，带有强制性的隔离和封闭措施，对进一步的病毒传播造成有效干扰，这体现在反应速度常数上，起到对反应速度的抑制效果。

(3) 当然这种抑制效果不是即时的，取决于贯彻隔离措施的手段和民众的接受和自觉程度，具体实行中体现为逐步强化的抑制效果。(现实中抑制不可能是彻底的，本模型忽略剩余传染性，假定在足够长的时间段，传染性完全消失。)

dN/dt = k exp( - 0.693*(t – t₀)/t₁) (N – N _t-t2 )

式中 t₀ 为干扰响应的滞后，t₁ 为隔离感染病人的半衰期，即经过时间 t₁ 后有一半病人被切断传染途径，从而失去传染性，

该模型中的速度系数 k 是通过拟合1月15日起前十天“无干预”期的报告发病人数并参考后期发展而得到的。

图1 是按照式(1)拟合的初期十天的数据。

模型计算用离散积分

N_i+1 = N_i  +  (dN/dt) Dt

其中  t₀, t_{1 ,} t₂  皆取10天。分析表明预测结果受 k,t₀, t₁   影响较大，对  t₂  变化不敏感(t₂ >10)。

图2 是预测的累计病例和有活力病例数 [Plots are updated as data become available.]

图3 是预测的日发病率，即每日新增病例。[Plots are updated as data become available.]

图4 是每日的相对发病率，即每日新增病例与前日累计病例之比。[Plots are updated as data become available.]

权做大胆拟测如下：

(1) 累计感染病例可能达到十七万，未愈未亡病例将有一峰值，大约在2月18日前后，达到7至8万病例。

(2) 在此之前，新增病例于2月12日前后达到日增接近8000人。

(3) 在采取强制隔离措施后，每日病例相对增加已逐步减少，目前(2月4日)大约20%。2月18日前后将跌至5%以下，同时病人数开始逐步减少。

Notes added Feb 9.

补充了2月4-8日的公布数字。最新数据似乎表明新增病例已开始呈现下降趋势, 模型尚未为此而修改。初步估算显示, 如将表征隔离措施有效性的参数(半衰期, 目前取值为10天)相应调减, 即可拟合公布的数据走势。综合考虑, 暂不做此修正。

Notes added Feb 13

更新了数据对比, 数据为国家卫健委公布, 截至2月12日。
2月4日之后的数据似乎显示新增病例呈下降趋势, 在回答朋友问题时, 我曾说过这些数值多半是"畸形统计"的结果。12日突然增加的新增病例数值从某种意义上印证了我的怀疑。
12日的反常值可与其前1, 2, 3 ...日的数值逐日平均, 结果也标在图中以利比较。
对累计病例, 做了相对乐观(k=0.5, t_1 = 7 天) 和相对悲观(k=0.44, t_1 = 14) 的两种预测, 结果如图示。
2月3日的拟测今日似乎仍然有效。

Notes Feb 17
目前战疫已经普遍看作是一场战役，第一回合基本上是由病毒主导战场，第二回合自武汉封城开始，蔓延至多市封城，看态势，病毒的进攻势头好像暂时被遏制。随着各地返程复工，第三回合将逐步展开，如何有节制有控制地恢复人员流动和接触，避免新一轮感染的指数增长，是下一步战役的关键。有利因素一，可能病毒的毒性在减弱；二，有针对性的特效药通过第二回合争取来的时间也许能逐步投入战场。