-*-紫色王家思絮絮-*-
我思无邪、我行无悔
正文
Note: 此文作者是“半身人”，是位留法的数学爱好者，也是科班。以前和我在网络上打过些招呼。此帖是大约两年前写的，作者写作目的很明显：用“武侠”的笔调写数学史。可惜作者没有写完，就撂笔云游去了。
一直觉得此楼不错，如今竟然烂尾，殊觉可惜。曾经有意狗尾续貂盖一楼，但是想来想去还是罢手：数学功底不足，写不好这种文章。
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数学史十八传奇
题记：希望您和您的孩子不再厌恶数学。
序言：
毋须质疑，数学是艰难的。不过就像人们常说，诗人的感情常被其诗情放大数倍一样，数学的美往往被其艰难掩盖了大部分。它的确是严格的，然而好比痛苦和快乐可以并存一样---－这正是“痛快”一词的精妙----冷酷和美，也并不矛盾。
数学家们，作为这个地球上最有智慧的一群人，心甘情愿的把他们的一生奉献给这样一种事业，至死不渝。那么，请相信，他们一定是发现了其中深藏的奥妙，难以言喻的美和让他内心平静的力量。
同时，数学家们亦承担着部分的误解。小说的描述，电影的塑造，让他们成为公众眼中不解风情的书呆子，行为乖张的教师，自我沉醉的天才，衣着邋遢的学生。每个群体中都具有这样的特殊个体，每个个体都有不同的生活侧面。这些偶然，不应该代表着数学家应有的形象。
他们都是普通人。他们不像闪电侠那样日行千里，不像钢铁侠那样钢筋铁骨，在生活习惯上，也不像超人那样喜欢把内裤穿在外面。绝大多数的他们都是正常人。他 们中有军人，律师，教师，外交官，各行各业；有的急躁，有的温和；有的品味讲究，有的稀里糊涂；有的是种族主义者，有的却是共产主义人；有的终生情操高 洁，也有的势利嫉妒。---甚至，有时看过他们的一生之后，你会有些可恨可惜的感叹，他们为什么有时候比普通人还普通。
那么，到底是什么，使他们成为这样群体中的一员？答案只有一个，那就是-----他们离不开数学，就像鱼离不开水。他们绝大部分多才多艺，才思敏捷，精力 充沛，坚忍不拔。他们忠于自己的信念，不管这信念是什么，神、权、名、利、等等-----是的，并非所有的大数学家的追求都是数学-----但他们一生都 拥有无法抑制的去研究数学的冲动与激情。
数学一生都在召唤他们，不管他们离它多远。幻想在所有人类思维的沃土上有一片战场，他们就是最好的战士。并且，在对待同样伟大的同行态度上，他们展现出了 其他种群极少展现的特质，那是一种真正的互相尊重与理解，一种真正的惺惺相惜----就像古希腊神话中一众半人半神英雄之间的真正友谊。
另一方面，对于数学本身，人们亦有许多疑问。什么数学？数学到底有什么用？
对于前一个问题，我们依然有许多不甚了解的区域和盲点。譬如，我们至今仍不清楚数学的起源是众神心血来潮而撒下的智慧火种，还是某只南方老猿灵机一动的瞬间收获-----这极可能是永远也无法知晓的答案。
事实上，我们唯一可以肯定的是，为了发明那些现在被视为常识般简单的东西，人们花费了难以置信的劳动。甚至是最基本的数学思想----抽象与概括，人们也 一定经历了多少个世纪的斗争才设想出来。正如伯特.罗素(Bertrand Russell)所说：“一定经过了许多年代，人们才发现了一对野鸡和两天都是数字2的例子。”
数学可以视为人类一种纯粹的思维上的智力活动，其自身的见解与智慧，超越它对科学的任何可能的应用----也正是这点，使得它得到了不随时间推移而变化的真正的“不朽”。
对于后者，简要的回答是，数学就是不问到底有什么用。欧几里德(Euclid)曾说：“给他三个金币，然后让他离开这儿。因为他想从学习中获利。”然而， 数学又极为有用，有用到成为现代生活不可或缺的要素。天上的卫星，疾驰的汽车，照明的电灯，敲打的键盘，都是植根在数学上的应用。有人的地方，就有数学。
如果你偶尔因为这样的问题张口结舌，那是因为数学对于生活就像你的内脏对于你的身体一样，健康的时候你是感觉不到它存在的。而一旦离开了数学，毫不夸张的说，整个现代文明将根本不存在。
甚至，对个人来说，数学跟任何其他可以触摸的艺术品一样，不仅真实，更有一种严格和朴素、冷酷而纯净的完美。这个星球上最有才智的一群人不仅坚信完美的真理只出自于数学，他们甚至觉得数学本身就是有生命力的。
无线电波的发明者赫兹(Heinnch Hertz)这么描述：“人无法摆脱这样的感觉-----这些数学公式是独立存在的，有它们自己的智能。它们比我们更聪明，甚至比它的发现者还聪明。我们从它们中得到的超过了原来放进他们的。”
并且，这种超常的脑力活动使得绝大多数数学家益寿延年，他们大多到了晚年仍然保持难以想象的敏捷思维。虽然数学上的大工作，往往都发生在人生的前半期 ----然而对研究数学的人本身而言，这个游戏使他们的大脑永葆青春----这也许就是马赫(Ernst Mach)所说的：“也许听起来奇怪，数学的力量在于它规避了一切不必要的思考和它惊人的节省了脑力活动。”
要把数学家所有曾经的、现在的先驱们都写一遍，对本人来说是力不能及的艰巨任务。恰好的是，今日成熟的体系，详尽的史料，丰富的成果，也意味着我们有选择的自由。在学习和阅读的过程中，时常有这样的感觉------数学，就是江湖。
数学界的大侠和武侠小说中的大侠并没多少区别。武侠里切磋比武，华山论剑，比的是招式内力，争的是武功秘籍。数学家新建体系，互予证明，比的是逻辑推理， 争的则是广泛准则。一个拳怕少壮，一个脑力至胜。同样是不世出的天才，同样跌宕起伏的人生，同样足够分量的朋友与敌人，甚至同样的花月红颜，同样的金戈铁 马。
因此，在这个偶像辈出的时代，数学家中的先驱，数学家中最优秀的那些人，无论从哪一方面来看，都完全有资格成为大众的偶像。他们的生活与成就，皆波澜壮阔的惊人。一旦真正了解了他们，你只会留下一种印象。即他们的伟大无可争议。
他们就是英雄、传奇，像赫拉克勒斯或者普罗米修斯一样------他们的活动，推动了全世界。
接下来，我们将看到，十八位传奇般的数学家，根据某些特质，会与某些知名武侠人物一一对应。虽然后者是虚幻的创作，但是很明显，数学家们所拥有的最高贵的品质，丝毫不逊色于人们理想中的完美角色。
至于选择这十八人的标准。首先，要在漫漫数学史中----要知道，这在某种意义上，就等同于人类的文明史----仅仅选出十八人，来作为数学家们的代表，是非常困难的。
因此，第一条标准必须是，只挑选那些以数学作为他们最为传世的功绩的大侠。诚然，把数学成功应用到实际世界，推动人类进步的每一个数学家，都是极为杰出的。不过他们留下的口碑往往掩盖了他们数学上的伟大。
数学是全人类的艺术，她的全部 目的绝不仅仅是为了技术------我们的发明已经很多----可是数学依然探索这样一个领域的奥秘，对于这个领域，人类无论怎么想象也不会涉及，它也不 会影响到我们的物质存在。而那些伟大的数学家们认为它们值得热爱和理解，仅仅因为它作为一件艺术作品而体现出来的严格的完美。
其次，他必须极大的推动了现代 数学的发展，他留下的思想必须现在还在深刻的影响及指导那些有生命力、有创造性的数学领域。因此，我们将特别注意那些开创了某些学科的【创始人】。是的， 发展者和完善者中也有伟大的身影，并且他们的工作也异常重要。但那些首先指出新途径的探索者无疑还是最引人注目的，他们的短信得票率也是最高的。在这个社 会，人气就是硬道理-----幸而历史是公正的，现在看来，数学上绝大多数的创始者也是无可匹敌的发展者。
再次，我们依旧要参考他的生 平。他们的生平及品质必须有足够的吸引力，换句话说，要有足够的卖点！不一定要完美，但一定要【独特】。这些大师，首先是要作为一个人而被称颂。广大大众 更关注的，是他们作为普通人的一面。幸运的是，这十八个人当中，或多或少都经历了起伏动荡的人生，于公于私都有足够的猛料可以来写-----而这，也许就 是天才带给他们的副作用吧！
最后，鉴于近代数学的迅速膨胀化以及精细化，现代已不可能再出現一人可以精通所有数学方向的全能大师。因此，名单中关注的，以近代数学起步阶段的名字居多，远古和现代的相较较少。
以上总结一下即为：1.要以数学为主。2. 要有实力有人气。3.要有卖点。依照这比超女更严格的选拔程序，选拔出来的十八人，都是数学史最当之无愧的不朽传奇。
（一） 阿基米德――――越女剑阿青
阿基米德毫（Archimedes，公元前287？--公元前212）无疑问是人类史上最天才的人物之一。先探讨一个遗传学家很感兴趣的话题。什么叫天才？现在的基本共识是，天才必须有以下两点才成其为天才：
一，先天的能力
二，后天的环境能够让他持续和保持这种能力。
这 里的【天生能力】不是平常所 谓“聪明的人”。打个比方，一只会用小树枝吃白蚁的猩猩---我们叫它聪明的猩猩，而一个人-----我们就叫他【天才的】猩猩。是的，比起普通人来，有 些天才表现出来的才能，甚至让小球觉得把他放在“人类”这个范畴里是否适当。他们所做出的工作，瞬间思维的爆发力，成年累月把所有的智力聚焦在一个问题上 的集中力，充满了震慑人的自然之力。比起火箭升空的飞沙走石，亦是毫不逊色。
而后天的环境，此处还是交给社会学家去讨论。 闲话修表，言归正传。
越女阿青，出現在金庸第一部小说【越女剑】中，设定出场年代在春秋末期，吴越争霸之时。寥寥两万余字，勾勒出一个剑法出神入化，又情窦初开的朦胧少女形象。我们的阿基米德有三点和阿青至像：1.至高无上的天才2.无与伦比的高贵气质 3.神奇且神秘的生平
基本说来，金庸的小说里武功的高低是越往后越弱，阿基米德也多少符合这个规律----一个出生年代不详，距今已有近2300年的人物，无论怎么排，他都应该在数学界兵器谱的前五。考虑到他那个时代周围学科和实验环境的贫瘠，就智力而言，许多人甚至会把他排在第一。
E.T 贝尔用了这么两句话来形容阿基米德：“他是古代最伟大的智者，彻头彻尾的现代派。他与牛顿完全可以相互理解。”
然而，在展开阿基米德的生平之前，我们有必要快速的浏览一下古希腊的一众哲学家。只有天才之间的对比，才能更凸显阿基米德的伟大与至高无上。
在那个时代，哲学与数学或者说自然科学还是混沌一体的，所有的学者都是不同程度上的全才---这在现代看来是不可想象的。那光辉的时代里也有不少的不朽的名字，按时间先后，分别是毕达哥拉斯，芝诺，欧多克斯，欧几里得，阿波罗尼乌斯。他们都对纯数学做出了重大的影响。
毕 达哥拉斯 （Pythagoras，公元前569？--公元前前500？），他的一生是个神话。他本人是天才和神秘的矛盾体。在那个时代，他的活动范围大的惊人。他 周游埃及，访问巴比伦，传教于意大利，没人知道他到底是怎么样一个人----那些剩下的故事都是一些难以置信的传说。他现在被认为对数学做出了两个重大的 贡献。
一，他把【证明】这个概念引入了数学。证明现在普遍被看做是数学最基本的精神，我们甚至很难想像先于数学推理的阶段是什么。
二，他意识到了无理数的存在。当然，他不知道“无理数”这个称呼，他也无可抑制的对这个他无法控制的数感到恼火---自然他也就避开了它。
毕达哥拉斯有一句著名的话“上帝是整数”（另外一个版本---整数统治着宇宙），在膜理论出炉的现在看来竟有些预言的成分。当然此是后话，会在威顿的章节里谈及，暂且不表。
毕达哥拉斯的继承者基本可以分成两派，一派维护自然数的统治地位，拒绝承认无理数。他们留在原地，获得安全，但同时也没获得新的发现；另一派，勇敢的去研究，不少因为毁灭性的批判而身败名裂，但他们发现了许多对现代数学极其重要的思想。
芝 诺（Zeno，公元前495 —公元前435），原地踏步派的代表人物，依然是个天才---是的，那个时代天才多的像现在的本科生！据说他是个自学成才的人，他留下了4个悖论，让当时 许多知名的哲学家也张口莫辩。这4个悖论之中，前两个否认“直线可以无限可分”---现在我们很清楚的知道这等价于承认无理数存在，后两个又否认“直线不 可以无限分割”。这里鉴于芝诺不是这次比武的主角，因此只介绍前两个比较出名的悖论。
一， 二分法悖论。运动是不可能的，因为运动的物体在到达目的地之前必须到达路程的中间点，而在它到达中间点之前，它又必须到达路程的四分之一点。如此下去，没有穷尽，因此运动甚至不能开始。
二， 阿喀琉斯悖论（Achilles）悖论。奔跑中的阿喀琉斯永远也不能超过一直在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了，所以仍在它前面。重复下去，很明显乌龟将一直在前面。
这些悖论本身并不是很难解释，但要用【非数学语言】把它讲的清楚，则困难之至---这也正是早期人们在探索连续和无穷这些概念时遇到的。
欧 多克斯（Eudoxus，公 元前408--公元前355），则是前进探索派的先锋。在智力上，他和魏尔斯特拉斯（Weierstrass），戴德金（Dedekind）这些19世纪 初的数学分析理论创始者是同时代人。他独自一人创造了“希腊数学的王冠”---比例理论---这是一个划时代的定义，它使得数学家们可以像对待有理数那样 严密的对待无理数。这实际上是数学分析现代理论的一个起始点。
另外，欧多克斯发明了“穷竭 法”，他通过对一个给定量连续分割而得到任意想要的尽可能小的量，从而求出一条曲线的长度，一个曲面的面积或者一个曲面围成的体积---而这一切，都是在 没有任何现代的“连续”与“无穷”的概念下做出来的。要理解下这到底有多难，任何一个读者都可以试着计算一下已知半径的圆的周长，但前提是你【根本不知 道】你学过的任何中学知识。E.T.贝尔的话可能稍显夸张：“无论是谁，只要完全靠自己的力量做到了上面这点，他就有资格称自己是第一流的数学家。”
欧 几里得，（Euclid，公 元前330？--公元前275？）大部分人认为的《几何原本》(Elements)的作者。他一生的荣誉或批评几乎全部来自于这本书---这是数学史上的 第一本教材,也是有史以来最畅销的一本。它的阅读者据说和《圣经》(Bible)不相上下。直到2000多年后的今天,初中几何教材中仍有大部分内容承袭 自《原本》的体系。甚至,今后数学的每一个分支都可以在这本书上找到源头。
什么叫做不朽？欧几里得活了不超过100年,但他作品的寿命超过2200年---并且看上去永远不会凋亡---这就是不朽。
欧 几里得将所有前人的数学成果 加以整理,进行了条理化和系统化而得到《原本》一书。他是真正意义上借助纯粹思维,而不是参照物理世界理解二维空间性质的大师。毕达哥拉斯把"证明"的概 念引入了数学,而欧几里得把它发扬光大。《原本》最重要的贡献在于,它革新了当时人们的逻辑方法,使人们意识到严密的逻辑推理的重要性,从而确立了数学是 一门演绎的科学。甚至,它的一些漏洞也成为今后数学发展的起点,例如最著名的第五公设(The Parallel Axiom)。所有的这些,加上它平易的写作风格,致使它成为伟大与畅销并存的科学巨著。
阿波罗尼乌斯 （Apollonius，公元前260？--公元前200？），一个伟大纯几何学家。他以欧几里得的方式来发展几何。他主要的工作集中在圆锥曲线的领域。 用一个平面去截圆锥而得到的曲线成为圆锥曲线。它包含5种类型：圆，椭圆，抛物线，双曲线以及两条相交的直线。阿波罗尼乌斯及他的后继者把圆锥曲线的几何 推到高度完美的境地，这是17世纪起开始迅速发展的天体力学的坚固基础，没有他们，就没有后来的“天空立法者”---开普勒（Kepler）的行星运动三 定律，也不会有我们伟大的牛顿(Newton)的一切。
闲话休表，言归正传。回到阿基米德身上。
金庸写阿青，说一千名 甲士和一 千名剑士阻挡不了她。如果把古希腊时代，数学上那些待攻克的难题比作士兵的话，一万个士兵也绝不是阿基米德的对手。他是数学领域的战神阿瑞斯。在同代人 中，阿基米德获得了是敬畏和尊崇，他是他们中无可争辩的领袖，他们称他为“长老”、“智者”、“大师”、“伟大的几何学家”。
阿基米德另外一点和阿青相似的地方是：他们身上与生俱来的带有一种高贵且纯粹的情操。越女剑全文没有一处正面描写阿青的身份来历、外貌身形，却依然让人觉得她仿佛是上天派下来的精灵，一尘不染。阿基米德带给人同样的感觉----他身心都是一个贵族。
他出生于西西里的叙拉古，是天文学家菲迪亚斯（Pheidias）的儿子，与叙拉古国王希隆二世（Hieron II）有着亲缘关系。这是他的血统。然而，阿基米德真正的贵族气质，淋漓尽致的体现在他对待今天我们称之为应用科学的态度上。
并 无贬低应用科学之意，这些实 用的发明渗透在我们现今社会的每一处。阿基米德做出了许多伟大的实用的发明，他完全有资格可以被称为历史上最伟大的机械学天才-----至少也是最伟大的 之一。他对应用机械学的贡献可以写成好几本书。不过以某种观点看，这些完全无法无法与他在纯数学上的工作相提并论----最令人惊讶的是，他自己也抱持着 这种态度。
我们以两个经典流传的例子来展现阿基米德的日常生活。第一个，是那著名的浴盆中的发现---流体静力学第一定律以及那一次 【裸奔】的风情。如果按照好莱坞电影里的数学家形象，一个沉迷于自己研究的数学家是连吃饭睡觉都会忘记的话，阿基米德就绝对是这样一个典型。据说他对穿着 方面也非常的不经意。
有一天，有一个不诚实的金匠给 希隆国王做的王冠中掺了少量的银，国王怀疑到这样一个欺诈的举动，但把找碴的工作留给了阿基米德。他日思夜想，终于在自己洗澡的时候，观察到自己浮起的身 体，从而做出了他的著名发现：物体在液体中减轻的重量，等于它所排出的液体的重量。这就是后来被称为流体静力学第一定律的伟大结果。于是，他兴奋的跳出浴 缸，一丝不挂的跑过叙拉古的大街，嘴里高喊着：“尤里卡，尤里卡！（我发现了，我发现了！）”
而另一个就是那句著名的感叹语：“给我一个支点，我就能撬动地球！”阿基米德不是一个喜欢吹牛的人，他之所以这样夸口是因为他本人也被自己发现的杠杆原理而深深地感动了。
在研究方法上，阿基米德与同代人有着显著的区别。就像阿青的剑法远远凌驾于当时吴越两国任何的剑客一样，他可以用一切可以用来做思维武器的手段，来攻击他的问题，而丝毫不拘泥于已有的规则和教条。
比如，1906年，希腊学者 J.L.海伯格(J.L. Heiberg)在君士坦丁堡发现了阿基米德的遗世之作；《论力学定理和方法》。在这篇文章里，我们清楚的看到，阿基米德通过在脑海中的想象比较，从而由 一个已知面积或体积的图形（立体），得到一个未知图形（立体）的面积或体积。在得到了结果之后，他再去从纯数学上证明它。-----他用了他的力学去推进 他的数学。这正是他的强大所在，他用所有可以用的武器来围攻目标，直到他解决它为止。-----通常这也不需要很久的时间。
为什么我们需要强调这一点？这在现代似乎被看起来理所当然。然而，我们要知道，对于大部分古希腊人来说，首先数学的大部分就是几何。而这些几何，被柏拉图制定的一些死板规则所禁锢了。例如，只允许用没有刻度的直尺，和圆规作图。
我们都很熟知那困扰古典几何学 家上千年的三大难题：化圆为方、三等分角与倍立方。这三个问题都是不可能用古典尺规作图来实现的，只不过第一个问题的严格证明并不像它所表达的那样简单， 直到1882年人们才终于证明了它。柏拉图和他的学派把所有非尺规做的图统称为“非机械”的，并且出于某种神秘的原因，这样的作图是被严令禁止的。
可以这么说，直到柏拉图去世后的1985年，几何学才从他的束缚中解放出来。解救他的人将是我们第二位主人公-----笛卡儿。他的发现将终结黑暗时代，开启近现代数学的序幕。不过此乃后话，暂且不表。
由此可见，阿基米德----在柏拉图去世60年后才出生的天才-----是当时唯一的不重视柏拉图的古板守旧的几何概念的先驱。单凭这一点，他就是突破时代的，值得后人的称赞。
对阿基米德现代性的第二个判定是他所用的方法本身。，阿基米德确确实实在两千年之前-----在他求抛物线的面积和其它问题中-----就发明了【积分学】，并在他的一个求螺线与切线的夹角的问题中，他也发明并运用了【微分学】。
这正是我们现在所熟知的微积分学的雏形。当然，学界的公认是，牛顿与莱布尼茨一起创立了微积分。鉴于他们建立的是一套完整的可持续发展的体系，这是公正的判断。微积分乃至今为止，我们所发明的，用来探索物质世界的最好的数学工具之一。
伴随他强有力方法的，是阿基米 德的【典型的天才习惯】。在这点上，我们之后会提到的魏尔斯特拉斯(Weierstrass)与阿基米德非常相似。阿基米德会在任何时候，任何状态进入思 考，并且书写推演一切他所需要的结果。坐在炉火前，他就会把炉灰抹平，然后在上面演算。而在沐浴时，他甚至会在自己涂满橄榄油的身上，用指甲来画图。或者 任何一片铺满沙子的地板，充满尘土的光滑地面，都将是阿基米德的“黑板”。这一幕，甚至悲剧般的出现在阿基米德生命的尽头。
那么阿基米德到底对纯数学和应用数学贡献了些什么呢？为了篇幅的精简，我们只能简略的概括如下。
首先，他发明了这样的求面积方 法，可以用来求曲线围成的平面图形的面积。在得到了面积之后，继续把他的方法推行到了求曲面围成的空间体积。另外，附带的，他给出了计算π算(圆周率)的 方法，也给出了近似的计算平方根的方法。这些方法显示出他预见到印度人关于连续循环小数的发明。
在算术系统中，他发明了一种能 够写出无论多大数的计数系统----而当时希腊还用符号代表数字，这在数学上根本是行不通的----从而可以自由的进行运算。最后，在应用数学上，他发现 了杠杆原理，并运用它计算几个形状各异的平面与立体的面积或者体积。他还创立了整个流体静力学，并应用在确定几类浮体的平衡位置及静止位置的问题上。
很显然，阿基米德不是创造了一 件杰作，而是创造了【很多杰作】。并且在他已存的的论著中，他的一切证明都是极其精炼而完全符合逻辑的，技巧性非常强。然而没有丝毫线索表明，他到底是通 过怎样一种方式而得到他那些惊人的结论。注意，这点又与我们今后会谈及的数学王子-----高斯一样，难道他也是那著名的“少些，但是要成熟”的信条的信 奉者？也许只有阿基米德自己才清楚，自己到底是循着何种轨迹才开创了这么多完美的结果。
越女剑中，阿青神秘的出現，至发现自己爱上范蠡之后离开，整个生命高贵而又神秘。阿基米德也是这样。我们对他的具体生活状态，知之甚少。他的一生，总体来说还是非常平静的。然而，我们古代最伟大的智者，阿基米德，他一生的冲突和悲剧都被留在了生命的最尽头。
公元前212年，第二次布匿战争如火如荼。迦太基与罗马，激战正酣。阿基米德帮助叙拉古的统治者建造了巨型投石机，并把它们运用在战船上-----这对他来说简直是小菜一碟-----于是，他的城邦一次又一次击退了罗马的军队。
然而罗马人是天生的战争机器。 他们趁叙拉古人具行宗教仪式时进行了偷袭，叙拉古就这样战败了。接下来的故事有两个版本。一个是士兵踩坏了阿基米德在炭灰地板上的几何图，老人于是朝他怒 喝：“别碰我的圆”。另外一个则是，阿基米德拒绝了士兵要带他去见罗马指挥官的命令，理由是他要做完他的推理。
然而，不管是那种版本，手无寸铁的阿基米德被罗马人杀死了。也许那位罗马士兵的剑杀过的人，再也没有一个对于文明有着如此重大的意义。75岁的先知阿基米德就这样死在战争的屠杀中，随他一起逝去的，是古希腊的黄金时代。从此，西方文明进入了长达千年的黑暗时期。
就像艾伦坡(E.A.Poe)所说，光荣归于希腊。怀特海(Whitehead)对阿基米德的悲剧这样评价：从来没有一个罗马人，由于对于一个数学问题的全神贯注而丧生。
一直觉得此楼不错，如今竟然烂尾，殊觉可惜。曾经有意狗尾续貂盖一楼，但是想来想去还是罢手：数学功底不足，写不好这种文章。
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数学史十八传奇
题记：希望您和您的孩子不再厌恶数学。
序言：
毋须质疑，数学是艰难的。不过就像人们常说，诗人的感情常被其诗情放大数倍一样，数学的美往往被其艰难掩盖了大部分。它的确是严格的，然而好比痛苦和快乐可以并存一样---－这正是“痛快”一词的精妙----冷酷和美，也并不矛盾。
数学家们，作为这个地球上最有智慧的一群人，心甘情愿的把他们的一生奉献给这样一种事业，至死不渝。那么，请相信，他们一定是发现了其中深藏的奥妙，难以言喻的美和让他内心平静的力量。
同时，数学家们亦承担着部分的误解。小说的描述，电影的塑造，让他们成为公众眼中不解风情的书呆子，行为乖张的教师，自我沉醉的天才，衣着邋遢的学生。每个群体中都具有这样的特殊个体，每个个体都有不同的生活侧面。这些偶然，不应该代表着数学家应有的形象。
他们都是普通人。他们不像闪电侠那样日行千里，不像钢铁侠那样钢筋铁骨，在生活习惯上，也不像超人那样喜欢把内裤穿在外面。绝大多数的他们都是正常人。他 们中有军人，律师，教师，外交官，各行各业；有的急躁，有的温和；有的品味讲究，有的稀里糊涂；有的是种族主义者，有的却是共产主义人；有的终生情操高 洁，也有的势利嫉妒。---甚至，有时看过他们的一生之后，你会有些可恨可惜的感叹，他们为什么有时候比普通人还普通。
那么，到底是什么，使他们成为这样群体中的一员？答案只有一个，那就是-----他们离不开数学，就像鱼离不开水。他们绝大部分多才多艺，才思敏捷，精力 充沛，坚忍不拔。他们忠于自己的信念，不管这信念是什么，神、权、名、利、等等-----是的，并非所有的大数学家的追求都是数学-----但他们一生都 拥有无法抑制的去研究数学的冲动与激情。
数学一生都在召唤他们，不管他们离它多远。幻想在所有人类思维的沃土上有一片战场，他们就是最好的战士。并且，在对待同样伟大的同行态度上，他们展现出了 其他种群极少展现的特质，那是一种真正的互相尊重与理解，一种真正的惺惺相惜----就像古希腊神话中一众半人半神英雄之间的真正友谊。
另一方面，对于数学本身，人们亦有许多疑问。什么数学？数学到底有什么用？
对于前一个问题，我们依然有许多不甚了解的区域和盲点。譬如，我们至今仍不清楚数学的起源是众神心血来潮而撒下的智慧火种，还是某只南方老猿灵机一动的瞬间收获-----这极可能是永远也无法知晓的答案。
事实上，我们唯一可以肯定的是，为了发明那些现在被视为常识般简单的东西，人们花费了难以置信的劳动。甚至是最基本的数学思想----抽象与概括，人们也 一定经历了多少个世纪的斗争才设想出来。正如伯特.罗素(Bertrand Russell)所说：“一定经过了许多年代，人们才发现了一对野鸡和两天都是数字2的例子。”
数学可以视为人类一种纯粹的思维上的智力活动，其自身的见解与智慧，超越它对科学的任何可能的应用----也正是这点，使得它得到了不随时间推移而变化的真正的“不朽”。
对于后者，简要的回答是，数学就是不问到底有什么用。欧几里德(Euclid)曾说：“给他三个金币，然后让他离开这儿。因为他想从学习中获利。”然而， 数学又极为有用，有用到成为现代生活不可或缺的要素。天上的卫星，疾驰的汽车，照明的电灯，敲打的键盘，都是植根在数学上的应用。有人的地方，就有数学。
如果你偶尔因为这样的问题张口结舌，那是因为数学对于生活就像你的内脏对于你的身体一样，健康的时候你是感觉不到它存在的。而一旦离开了数学，毫不夸张的说，整个现代文明将根本不存在。
甚至，对个人来说，数学跟任何其他可以触摸的艺术品一样，不仅真实，更有一种严格和朴素、冷酷而纯净的完美。这个星球上最有才智的一群人不仅坚信完美的真理只出自于数学，他们甚至觉得数学本身就是有生命力的。
无线电波的发明者赫兹(Heinnch Hertz)这么描述：“人无法摆脱这样的感觉-----这些数学公式是独立存在的，有它们自己的智能。它们比我们更聪明，甚至比它的发现者还聪明。我们从它们中得到的超过了原来放进他们的。”
并且，这种超常的脑力活动使得绝大多数数学家益寿延年，他们大多到了晚年仍然保持难以想象的敏捷思维。虽然数学上的大工作，往往都发生在人生的前半期 ----然而对研究数学的人本身而言，这个游戏使他们的大脑永葆青春----这也许就是马赫(Ernst Mach)所说的：“也许听起来奇怪，数学的力量在于它规避了一切不必要的思考和它惊人的节省了脑力活动。”
要把数学家所有曾经的、现在的先驱们都写一遍，对本人来说是力不能及的艰巨任务。恰好的是，今日成熟的体系，详尽的史料，丰富的成果，也意味着我们有选择的自由。在学习和阅读的过程中，时常有这样的感觉------数学，就是江湖。
数学界的大侠和武侠小说中的大侠并没多少区别。武侠里切磋比武，华山论剑，比的是招式内力，争的是武功秘籍。数学家新建体系，互予证明，比的是逻辑推理， 争的则是广泛准则。一个拳怕少壮，一个脑力至胜。同样是不世出的天才，同样跌宕起伏的人生，同样足够分量的朋友与敌人，甚至同样的花月红颜，同样的金戈铁 马。
因此，在这个偶像辈出的时代，数学家中的先驱，数学家中最优秀的那些人，无论从哪一方面来看，都完全有资格成为大众的偶像。他们的生活与成就，皆波澜壮阔的惊人。一旦真正了解了他们，你只会留下一种印象。即他们的伟大无可争议。
他们就是英雄、传奇，像赫拉克勒斯或者普罗米修斯一样------他们的活动，推动了全世界。
接下来，我们将看到，十八位传奇般的数学家，根据某些特质，会与某些知名武侠人物一一对应。虽然后者是虚幻的创作，但是很明显，数学家们所拥有的最高贵的品质，丝毫不逊色于人们理想中的完美角色。
至于选择这十八人的标准。首先，要在漫漫数学史中----要知道，这在某种意义上，就等同于人类的文明史----仅仅选出十八人，来作为数学家们的代表，是非常困难的。
因此，第一条标准必须是，只挑选那些以数学作为他们最为传世的功绩的大侠。诚然，把数学成功应用到实际世界，推动人类进步的每一个数学家，都是极为杰出的。不过他们留下的口碑往往掩盖了他们数学上的伟大。
数学是全人类的艺术，她的全部 目的绝不仅仅是为了技术------我们的发明已经很多----可是数学依然探索这样一个领域的奥秘，对于这个领域，人类无论怎么想象也不会涉及，它也不 会影响到我们的物质存在。而那些伟大的数学家们认为它们值得热爱和理解，仅仅因为它作为一件艺术作品而体现出来的严格的完美。
其次，他必须极大的推动了现代 数学的发展，他留下的思想必须现在还在深刻的影响及指导那些有生命力、有创造性的数学领域。因此，我们将特别注意那些开创了某些学科的【创始人】。是的， 发展者和完善者中也有伟大的身影，并且他们的工作也异常重要。但那些首先指出新途径的探索者无疑还是最引人注目的，他们的短信得票率也是最高的。在这个社 会，人气就是硬道理-----幸而历史是公正的，现在看来，数学上绝大多数的创始者也是无可匹敌的发展者。
再次，我们依旧要参考他的生 平。他们的生平及品质必须有足够的吸引力，换句话说，要有足够的卖点！不一定要完美，但一定要【独特】。这些大师，首先是要作为一个人而被称颂。广大大众 更关注的，是他们作为普通人的一面。幸运的是，这十八个人当中，或多或少都经历了起伏动荡的人生，于公于私都有足够的猛料可以来写-----而这，也许就 是天才带给他们的副作用吧！
最后，鉴于近代数学的迅速膨胀化以及精细化，现代已不可能再出現一人可以精通所有数学方向的全能大师。因此，名单中关注的，以近代数学起步阶段的名字居多，远古和现代的相较较少。
以上总结一下即为：1.要以数学为主。2. 要有实力有人气。3.要有卖点。依照这比超女更严格的选拔程序，选拔出来的十八人，都是数学史最当之无愧的不朽传奇。
（一） 阿基米德――――越女剑阿青
阿基米德毫（Archimedes，公元前287？--公元前212）无疑问是人类史上最天才的人物之一。先探讨一个遗传学家很感兴趣的话题。什么叫天才？现在的基本共识是，天才必须有以下两点才成其为天才：
一，先天的能力
二，后天的环境能够让他持续和保持这种能力。
这 里的【天生能力】不是平常所 谓“聪明的人”。打个比方，一只会用小树枝吃白蚁的猩猩---我们叫它聪明的猩猩，而一个人-----我们就叫他【天才的】猩猩。是的，比起普通人来，有 些天才表现出来的才能，甚至让小球觉得把他放在“人类”这个范畴里是否适当。他们所做出的工作，瞬间思维的爆发力，成年累月把所有的智力聚焦在一个问题上 的集中力，充满了震慑人的自然之力。比起火箭升空的飞沙走石，亦是毫不逊色。
而后天的环境，此处还是交给社会学家去讨论。 闲话修表，言归正传。
越女阿青，出現在金庸第一部小说【越女剑】中，设定出场年代在春秋末期，吴越争霸之时。寥寥两万余字，勾勒出一个剑法出神入化，又情窦初开的朦胧少女形象。我们的阿基米德有三点和阿青至像：1.至高无上的天才2.无与伦比的高贵气质 3.神奇且神秘的生平
基本说来，金庸的小说里武功的高低是越往后越弱，阿基米德也多少符合这个规律----一个出生年代不详，距今已有近2300年的人物，无论怎么排，他都应该在数学界兵器谱的前五。考虑到他那个时代周围学科和实验环境的贫瘠，就智力而言，许多人甚至会把他排在第一。
E.T 贝尔用了这么两句话来形容阿基米德：“他是古代最伟大的智者，彻头彻尾的现代派。他与牛顿完全可以相互理解。”
然而，在展开阿基米德的生平之前，我们有必要快速的浏览一下古希腊的一众哲学家。只有天才之间的对比，才能更凸显阿基米德的伟大与至高无上。
在那个时代，哲学与数学或者说自然科学还是混沌一体的，所有的学者都是不同程度上的全才---这在现代看来是不可想象的。那光辉的时代里也有不少的不朽的名字，按时间先后，分别是毕达哥拉斯，芝诺，欧多克斯，欧几里得，阿波罗尼乌斯。他们都对纯数学做出了重大的影响。
毕 达哥拉斯 （Pythagoras，公元前569？--公元前前500？），他的一生是个神话。他本人是天才和神秘的矛盾体。在那个时代，他的活动范围大的惊人。他 周游埃及，访问巴比伦，传教于意大利，没人知道他到底是怎么样一个人----那些剩下的故事都是一些难以置信的传说。他现在被认为对数学做出了两个重大的 贡献。
一，他把【证明】这个概念引入了数学。证明现在普遍被看做是数学最基本的精神，我们甚至很难想像先于数学推理的阶段是什么。
二，他意识到了无理数的存在。当然，他不知道“无理数”这个称呼，他也无可抑制的对这个他无法控制的数感到恼火---自然他也就避开了它。
毕达哥拉斯有一句著名的话“上帝是整数”（另外一个版本---整数统治着宇宙），在膜理论出炉的现在看来竟有些预言的成分。当然此是后话，会在威顿的章节里谈及，暂且不表。
毕达哥拉斯的继承者基本可以分成两派，一派维护自然数的统治地位，拒绝承认无理数。他们留在原地，获得安全，但同时也没获得新的发现；另一派，勇敢的去研究，不少因为毁灭性的批判而身败名裂，但他们发现了许多对现代数学极其重要的思想。
芝 诺（Zeno，公元前495 —公元前435），原地踏步派的代表人物，依然是个天才---是的，那个时代天才多的像现在的本科生！据说他是个自学成才的人，他留下了4个悖论，让当时 许多知名的哲学家也张口莫辩。这4个悖论之中，前两个否认“直线可以无限可分”---现在我们很清楚的知道这等价于承认无理数存在，后两个又否认“直线不 可以无限分割”。这里鉴于芝诺不是这次比武的主角，因此只介绍前两个比较出名的悖论。
一， 二分法悖论。运动是不可能的，因为运动的物体在到达目的地之前必须到达路程的中间点，而在它到达中间点之前，它又必须到达路程的四分之一点。如此下去，没有穷尽，因此运动甚至不能开始。
二， 阿喀琉斯悖论（Achilles）悖论。奔跑中的阿喀琉斯永远也不能超过一直在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了，所以仍在它前面。重复下去，很明显乌龟将一直在前面。
这些悖论本身并不是很难解释，但要用【非数学语言】把它讲的清楚，则困难之至---这也正是早期人们在探索连续和无穷这些概念时遇到的。
欧 多克斯（Eudoxus，公 元前408--公元前355），则是前进探索派的先锋。在智力上，他和魏尔斯特拉斯（Weierstrass），戴德金（Dedekind）这些19世纪 初的数学分析理论创始者是同时代人。他独自一人创造了“希腊数学的王冠”---比例理论---这是一个划时代的定义，它使得数学家们可以像对待有理数那样 严密的对待无理数。这实际上是数学分析现代理论的一个起始点。
另外，欧多克斯发明了“穷竭 法”，他通过对一个给定量连续分割而得到任意想要的尽可能小的量，从而求出一条曲线的长度，一个曲面的面积或者一个曲面围成的体积---而这一切，都是在 没有任何现代的“连续”与“无穷”的概念下做出来的。要理解下这到底有多难，任何一个读者都可以试着计算一下已知半径的圆的周长，但前提是你【根本不知 道】你学过的任何中学知识。E.T.贝尔的话可能稍显夸张：“无论是谁，只要完全靠自己的力量做到了上面这点，他就有资格称自己是第一流的数学家。”
欧 几里得，（Euclid，公 元前330？--公元前275？）大部分人认为的《几何原本》(Elements)的作者。他一生的荣誉或批评几乎全部来自于这本书---这是数学史上的 第一本教材,也是有史以来最畅销的一本。它的阅读者据说和《圣经》(Bible)不相上下。直到2000多年后的今天,初中几何教材中仍有大部分内容承袭 自《原本》的体系。甚至,今后数学的每一个分支都可以在这本书上找到源头。
什么叫做不朽？欧几里得活了不超过100年,但他作品的寿命超过2200年---并且看上去永远不会凋亡---这就是不朽。
欧 几里得将所有前人的数学成果 加以整理,进行了条理化和系统化而得到《原本》一书。他是真正意义上借助纯粹思维,而不是参照物理世界理解二维空间性质的大师。毕达哥拉斯把"证明"的概 念引入了数学,而欧几里得把它发扬光大。《原本》最重要的贡献在于,它革新了当时人们的逻辑方法,使人们意识到严密的逻辑推理的重要性,从而确立了数学是 一门演绎的科学。甚至,它的一些漏洞也成为今后数学发展的起点,例如最著名的第五公设(The Parallel Axiom)。所有的这些,加上它平易的写作风格,致使它成为伟大与畅销并存的科学巨著。
阿波罗尼乌斯 （Apollonius，公元前260？--公元前200？），一个伟大纯几何学家。他以欧几里得的方式来发展几何。他主要的工作集中在圆锥曲线的领域。 用一个平面去截圆锥而得到的曲线成为圆锥曲线。它包含5种类型：圆，椭圆，抛物线，双曲线以及两条相交的直线。阿波罗尼乌斯及他的后继者把圆锥曲线的几何 推到高度完美的境地，这是17世纪起开始迅速发展的天体力学的坚固基础，没有他们，就没有后来的“天空立法者”---开普勒（Kepler）的行星运动三 定律，也不会有我们伟大的牛顿(Newton)的一切。
闲话休表，言归正传。回到阿基米德身上。
金庸写阿青，说一千名 甲士和一 千名剑士阻挡不了她。如果把古希腊时代，数学上那些待攻克的难题比作士兵的话，一万个士兵也绝不是阿基米德的对手。他是数学领域的战神阿瑞斯。在同代人 中，阿基米德获得了是敬畏和尊崇，他是他们中无可争辩的领袖，他们称他为“长老”、“智者”、“大师”、“伟大的几何学家”。
阿基米德另外一点和阿青相似的地方是：他们身上与生俱来的带有一种高贵且纯粹的情操。越女剑全文没有一处正面描写阿青的身份来历、外貌身形，却依然让人觉得她仿佛是上天派下来的精灵，一尘不染。阿基米德带给人同样的感觉----他身心都是一个贵族。
他出生于西西里的叙拉古，是天文学家菲迪亚斯（Pheidias）的儿子，与叙拉古国王希隆二世（Hieron II）有着亲缘关系。这是他的血统。然而，阿基米德真正的贵族气质，淋漓尽致的体现在他对待今天我们称之为应用科学的态度上。
并 无贬低应用科学之意，这些实 用的发明渗透在我们现今社会的每一处。阿基米德做出了许多伟大的实用的发明，他完全有资格可以被称为历史上最伟大的机械学天才-----至少也是最伟大的 之一。他对应用机械学的贡献可以写成好几本书。不过以某种观点看，这些完全无法无法与他在纯数学上的工作相提并论----最令人惊讶的是，他自己也抱持着 这种态度。
我们以两个经典流传的例子来展现阿基米德的日常生活。第一个，是那著名的浴盆中的发现---流体静力学第一定律以及那一次 【裸奔】的风情。如果按照好莱坞电影里的数学家形象，一个沉迷于自己研究的数学家是连吃饭睡觉都会忘记的话，阿基米德就绝对是这样一个典型。据说他对穿着 方面也非常的不经意。
有一天，有一个不诚实的金匠给 希隆国王做的王冠中掺了少量的银，国王怀疑到这样一个欺诈的举动，但把找碴的工作留给了阿基米德。他日思夜想，终于在自己洗澡的时候，观察到自己浮起的身 体，从而做出了他的著名发现：物体在液体中减轻的重量，等于它所排出的液体的重量。这就是后来被称为流体静力学第一定律的伟大结果。于是，他兴奋的跳出浴 缸，一丝不挂的跑过叙拉古的大街，嘴里高喊着：“尤里卡，尤里卡！（我发现了，我发现了！）”
而另一个就是那句著名的感叹语：“给我一个支点，我就能撬动地球！”阿基米德不是一个喜欢吹牛的人，他之所以这样夸口是因为他本人也被自己发现的杠杆原理而深深地感动了。
在研究方法上，阿基米德与同代人有着显著的区别。就像阿青的剑法远远凌驾于当时吴越两国任何的剑客一样，他可以用一切可以用来做思维武器的手段，来攻击他的问题，而丝毫不拘泥于已有的规则和教条。
比如，1906年，希腊学者 J.L.海伯格(J.L. Heiberg)在君士坦丁堡发现了阿基米德的遗世之作；《论力学定理和方法》。在这篇文章里，我们清楚的看到，阿基米德通过在脑海中的想象比较，从而由 一个已知面积或体积的图形（立体），得到一个未知图形（立体）的面积或体积。在得到了结果之后，他再去从纯数学上证明它。-----他用了他的力学去推进 他的数学。这正是他的强大所在，他用所有可以用的武器来围攻目标，直到他解决它为止。-----通常这也不需要很久的时间。
为什么我们需要强调这一点？这在现代似乎被看起来理所当然。然而，我们要知道，对于大部分古希腊人来说，首先数学的大部分就是几何。而这些几何，被柏拉图制定的一些死板规则所禁锢了。例如，只允许用没有刻度的直尺，和圆规作图。
我们都很熟知那困扰古典几何学 家上千年的三大难题：化圆为方、三等分角与倍立方。这三个问题都是不可能用古典尺规作图来实现的，只不过第一个问题的严格证明并不像它所表达的那样简单， 直到1882年人们才终于证明了它。柏拉图和他的学派把所有非尺规做的图统称为“非机械”的，并且出于某种神秘的原因，这样的作图是被严令禁止的。
可以这么说，直到柏拉图去世后的1985年，几何学才从他的束缚中解放出来。解救他的人将是我们第二位主人公-----笛卡儿。他的发现将终结黑暗时代，开启近现代数学的序幕。不过此乃后话，暂且不表。
由此可见，阿基米德----在柏拉图去世60年后才出生的天才-----是当时唯一的不重视柏拉图的古板守旧的几何概念的先驱。单凭这一点，他就是突破时代的，值得后人的称赞。
对阿基米德现代性的第二个判定是他所用的方法本身。，阿基米德确确实实在两千年之前-----在他求抛物线的面积和其它问题中-----就发明了【积分学】，并在他的一个求螺线与切线的夹角的问题中，他也发明并运用了【微分学】。
这正是我们现在所熟知的微积分学的雏形。当然，学界的公认是，牛顿与莱布尼茨一起创立了微积分。鉴于他们建立的是一套完整的可持续发展的体系，这是公正的判断。微积分乃至今为止，我们所发明的，用来探索物质世界的最好的数学工具之一。
伴随他强有力方法的，是阿基米 德的【典型的天才习惯】。在这点上，我们之后会提到的魏尔斯特拉斯(Weierstrass)与阿基米德非常相似。阿基米德会在任何时候，任何状态进入思 考，并且书写推演一切他所需要的结果。坐在炉火前，他就会把炉灰抹平，然后在上面演算。而在沐浴时，他甚至会在自己涂满橄榄油的身上，用指甲来画图。或者 任何一片铺满沙子的地板，充满尘土的光滑地面，都将是阿基米德的“黑板”。这一幕，甚至悲剧般的出现在阿基米德生命的尽头。
那么阿基米德到底对纯数学和应用数学贡献了些什么呢？为了篇幅的精简，我们只能简略的概括如下。
首先，他发明了这样的求面积方 法，可以用来求曲线围成的平面图形的面积。在得到了面积之后，继续把他的方法推行到了求曲面围成的空间体积。另外，附带的，他给出了计算π算(圆周率)的 方法，也给出了近似的计算平方根的方法。这些方法显示出他预见到印度人关于连续循环小数的发明。
在算术系统中，他发明了一种能 够写出无论多大数的计数系统----而当时希腊还用符号代表数字，这在数学上根本是行不通的----从而可以自由的进行运算。最后，在应用数学上，他发现 了杠杆原理，并运用它计算几个形状各异的平面与立体的面积或者体积。他还创立了整个流体静力学，并应用在确定几类浮体的平衡位置及静止位置的问题上。
很显然，阿基米德不是创造了一 件杰作，而是创造了【很多杰作】。并且在他已存的的论著中，他的一切证明都是极其精炼而完全符合逻辑的，技巧性非常强。然而没有丝毫线索表明，他到底是通 过怎样一种方式而得到他那些惊人的结论。注意，这点又与我们今后会谈及的数学王子-----高斯一样，难道他也是那著名的“少些，但是要成熟”的信条的信 奉者？也许只有阿基米德自己才清楚，自己到底是循着何种轨迹才开创了这么多完美的结果。
越女剑中，阿青神秘的出現，至发现自己爱上范蠡之后离开，整个生命高贵而又神秘。阿基米德也是这样。我们对他的具体生活状态，知之甚少。他的一生，总体来说还是非常平静的。然而，我们古代最伟大的智者，阿基米德，他一生的冲突和悲剧都被留在了生命的最尽头。
公元前212年，第二次布匿战争如火如荼。迦太基与罗马，激战正酣。阿基米德帮助叙拉古的统治者建造了巨型投石机，并把它们运用在战船上-----这对他来说简直是小菜一碟-----于是，他的城邦一次又一次击退了罗马的军队。
然而罗马人是天生的战争机器。 他们趁叙拉古人具行宗教仪式时进行了偷袭，叙拉古就这样战败了。接下来的故事有两个版本。一个是士兵踩坏了阿基米德在炭灰地板上的几何图，老人于是朝他怒 喝：“别碰我的圆”。另外一个则是，阿基米德拒绝了士兵要带他去见罗马指挥官的命令，理由是他要做完他的推理。
然而，不管是那种版本，手无寸铁的阿基米德被罗马人杀死了。也许那位罗马士兵的剑杀过的人，再也没有一个对于文明有着如此重大的意义。75岁的先知阿基米德就这样死在战争的屠杀中，随他一起逝去的，是古希腊的黄金时代。从此，西方文明进入了长达千年的黑暗时期。
就像艾伦坡(E.A.Poe)所说，光荣归于希腊。怀特海(Whitehead)对阿基米德的悲剧这样评价：从来没有一个罗马人，由于对于一个数学问题的全神贯注而丧生。
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