戴榕菁

尽管自1095年以来爱因斯坦的质量能量关系E=mc²一直被认为是狭义相对论的一个重要公式，但是正如我之前多次指出的，它不属于相对论。不过，自今年三月我开始指出狭义相对论的错误以来，我自己也一直有个疑问，那就是为什么爱因斯坦可以通过狭义相对论推导出这样一个不属于狭义相对论的公式，我在正式的英文文章中呼吁学界对此进行研究，但显然没能得到任何响应。感谢上帝，昨天我终于想明白了这个问题。现在我们就来通过温习爱因斯坦对该公式的原始推导来看一下为什么爱因斯坦可以声称他是用狭义相对论来得出这个公式而我们又可以肯定他的推导其实并不真就属于狭义相对论。

爱因斯坦的推导原文按链接【[1]】找到。在那篇文章可以让读者一眼看出可认为是狭义相对论的内容的是

L*=L (1-(v/c)cos?(∅))/√(1-v²/c²) （1）

其中L是光束在（x,y,z）坐标系中的能量，L*是光束在（ξ,η,ζ）坐标系中的能量。（ξ,η,ζ）坐标系以速度v做相对于（x,y,z）坐标系的平移。爱因斯坦的原文中的能量是用小写的l来表示的，我这里为了读者阅读方便将其改为大写。方程序号（1）是我这里加的，原文中没有。

我们暂且假设光束方向与v的方向一致（也就是忽略角度）来看如何可以通过非相对论的途径来推导出（1）式。只要能推导出（1）式，那么我们可以按照爱因斯坦原文中接下来的步骤推导出E=mc²来了。

首先，我们知道当光束方向与v方向一致时的（非相对论）多普勒波长公式为：

λ*=λc/(c-v) （2）

（2）是关于一般波动的波长变化的多普勒公式。而关于光的运动，基本不考虑多普勒效应，当光源在运动时，我们有

λ*=λ√(1-v²/c²) （3）

估计有读者会一看到这里就叫起来：这不就是狭义相对论中的洛伦兹变换吗？

答案是：你可以说它是洛伦兹变换，但也可以说它不是。说它是洛伦兹变换在某种意义上是一种颠倒因果关系的说法，当然这与过去一百来年里人们已经习惯了将其认定为洛伦兹变换有关。其实，（3）中的根号部分是由作为相对论的发展中的关键人物之一的美国电气工程师Heaviside提出的Heaviside椭球体得来的，而洛伦兹变换正是针对Heaviside椭球体提出的。所以一个是因一个是果。两者的根本区别在于Heaviside椭球体描写的是当光源进行平移运动时光波在传播过程的形状，是针对光的形状的描述，而洛伦兹则针对Heaviside椭球体提出假设说不是光波呈现椭球形状而是空间变形了，这才成为后来的狭义相对论的核心内容。

所以，你可以说（3）式是狭义相对论的内容，也可以说它与狭义相对论毫无关系-----这就是为什么爱因斯坦可以说他是根据狭义相对论来推导E=mc²的，而我们也可以说E=mc²与狭义相对论根本无关的原因。

爱因斯坦在文献【1】中主要有两个地方表明了（1）式是来自狭义相对论：首先他开宗明义地他那篇文章是延续“the previous investigation”，而他的那个“the previous investigation”指的就是他的著名的公布狭义相对论的经典文章【[2]】；其次，他将文章的光束描述为平面波，这就摆脱了与Heaviside椭球的关系从而完全属于狭义相对论的范畴。但我们知道，由点光源发出的波不可能是平面波，因此平面波只是一个近似表达而已。

现在明确了（3）其实可以完全与狭义相对论无关（尽管也可以解释为狭义相对论）之后，我们来看如何可以从（2）式和（3）式推导出（1）式：

为了避免不必要的困惑，我们将（2）中的λ和（3）中的λ*都改写为中间变量λ'：

由（2a）和（3a）我们得到：

λ* = λ c/(c-v) √(1-v²/c²) （4）

根据普朗克-爱因斯坦光能公式我们有

L* = L λ/ λ*=L (c-v)/(c√(1-v²/c²))=L (1-(v/c))/√(1-v²/c²) （5）

（5）就是（1）当cos?(∅)=1时的结果。cos?(∅)≠1的结果不难推出。

有了（5）式再按照爱因斯坦在文献【1】中提供的步骤就很容易推出E=mc²了。所以，我们完全不需要通过狭义相对论就可以推出E=mc²，而之所以也可以用狭义相对论突出该公式是因为洛伦兹变换本来就是将Heaviside对于光波给出的椭球作为一种假说推广为空间的缩短。所以，不是非要用洛伦兹变换来推导E=mc²，而是洛伦兹变换与推导E=mc²的过程在形式上可以一样。