数论人生

数论是一门学科,也是我的人生。有人把酒论英雄,我用数字描天下。
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人类究竟发明了什么?

(2024-07-29 11:23:02) 下一个

有人曾经说过,人类所发明的只不过是一堆记号而已:仅仅是一堆用来表示物体状态的符号。很多人对此不以为然,因为我们在学校里所受到的教育是,必须循规蹈矩。化学元素的符号不能乱写,化学反应的方程式更不能杜撰;数学上的运算符如求和记号只能写成∑;物理中的量纲只能是某个名人名字的首写字母,等等等等。直到1998年我去Carleton大学访问时,遇到了来自美国的Huard教授,他写数式可是随意得很,字母与数字混合着使用。我小心翼翼地问,这能行吗?他说行,只要你说明其含义即可。

从远古的石书竹简,到后来的造纸术,再到今日的打字软件,人类可谓进步神速。我在Carleton写论文时,还不知道怎么用电脑,只是用笔在纸上做演算,整理好之后再交给某个学生去用Latex打出来。现在,我的小女儿已经是大学计算机科学的四年级学生了,她也用Latex写作业,但总是抱怨说命令太多很难记。我也不知道Latex是谁开发的,怎么如此繁琐?发明不是应该更简便的吗?为了把文字从手写体变成印刷体,难道就没有更简便的工具吗?

下面我就按照胡教授的做法,把四个均值不等式的初等证明用键盘上的仅有符号敲出来。这组不等式是高中数学的基础,其证明一般要用到微积分的知识,一般的中学数学老师是不可能证明出来的。在加拿大的九年级,尽管要用来求最优值,但是没有一个数学老师知道怎么求;他们只知道把已有的结论搬出来,让学生们去记住。

给定一组正数a1, a2, …, an,它们的算术平均值定义为Am = Am(a1, a2, …, an) = (a1 + a2 + … + an)/n, 几何平均值为Gm = Gm(a1, a2, …, an) = (a1*a2*…*an)^1/n. 其中,*是普通乘法,/表示除法,^则是幂。我们有结论:Am >=Gm, 等号=当且仅当所有正数ai相等时成立。

我们用数学归纳法来证明。当n=1时,结论是显然的。假设结论对于某个正整数n=k成立。对于n的下一个取值k+1, 我们需要证明结论也成立。

为了简便起见,我们记A = Am(a1, …, ak), G = Gm(a1, …, ak),k+1 = n, an = a。所要证明的不等式等价于 (kA + a)/n >= [G^k * a]^1/n, 也就是,{[(n-1)A+a]/nG}^n >= a/G. 应用归纳假设A >=G, 只要证明 {1 + [g – 1]/n}^n >=g 即可,其中g = a/G > 0. 进一步做变量代换g – 1 = x > -1, 只要证明 {1 + x/n}^n >= 1 + x 即可。

应用二项式定理,上述不等式左边可以展开为1 + x + nC2*(x/n)^2 + … + nCk * (x/n)^k + … + (x/n)^n. 其中,nCk是二项式系数。如果x >=0, 它显然>=1 + x; 如果 0 > x > -1, 展开式从第三项开始为交错级数,而且各项nCk * (-x/n)^k单调减少,因此总和为正,不等式成立。

要使等式成立,必须有A = G,而且x = 0,由归纳假设可知,a1 = … = ak = G = a. 证毕。

在算术-几何平均值不等式中,如果把各正数换成它们的倒数,就可以得到几何平均大于或等于调和平均。如果引进对数的概念,不等式两边取对数,那就得到了对数函数的凸性,进一步就可以推广到Jensen不等式。

这才是人类的推理之道:从最初的观察,记录事物的形态及含意,找出它们之间的关联或规律,再通过一些公认的准则如归纳、演绎、反推、类比等去加以验证,最后推广到整个领域。规律是人类通过大脑的思考悟出来的,它们不是人类的创造,因为它们是客观存在的,即使没有人类,那些规律还在那里。

不知道人类能不能造出一台机器,它能够模拟人类大脑的思维全过程,能够知错改错、自我完善,还能够与所有物体沟通:不管是有生命的、还是没生命的。可是反过来想一下,如果真有这样的机器,那人活着又还有什么意义?

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评论
HBW 回复 悄悄话 AI就是这台机器。大部分人活着就是用和消耗东西而不是想和造东西。
不能再沉默 回复 悄悄话 讲的太绝对啦。
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