在北美，每个学年上半期的竞赛多安排在10到11月份，下半学期的竞赛则在2月中到4月中；都是安排在学期中间、而且是当周的中间（周三或周四），不至于刚开学时手忙脚乱，或者临近期末考试时恐慌万状。竞赛组织者也有时间从容地出题、阅卷、颁奖，考生们则可充分发挥自己的聪明才智，好好地秀一场。

然而，竞赛可不是每个学生都敢于参与的，很多人尤其是女生，害怕做竞赛题；这倒不是智力问题，而是态度和方法的问题。我曾经鼓励一个女生去参加竞赛；她说绝不，因为那样的话她就得Work harder。还有的家长，害怕做题会伤了孩子的身体；其实，他们是伤了孩子的智力。脑子总是越用越灵活的，哪有饱食终日的天才？

另一个是方法问题。有一个12年级的女生想去考Euclid竞赛；我给她讲了一道几何题，她根本就听不明白。仔细一问才发现，她记不住任何一个有关几何度量的公式，就连三角形的面积公式也不知道；真不知道她的中学12年是怎么度过的。记不住公式也就罢了，你能有点基本的逻辑推导能力也行啊；只要时间足够，临时推出来更好；可惜的是，平时就不爱动脑子的人，要她在考场上去动脑子，无异于天方夜谈。

都说中国的学生会考试，其实那都是形势逼迫出来的。在中国，你如果不去总结、记住，不去思考出快人一等的方法，那就没有你的活路。我上中学时的学校教导主任、也是我的数学老师就是这么说的，他家是地主成分，当时不读书就只有被专政的路。西方发达国家的华人学生们，请读读下面我对数学竞赛内容的总结，再看看还有哪些不足，也去竞赛场上拿个奖试试？

高中数学只有初等代数、欧几里德几何、坐标几何、初等数论、初等组合数学五部分内容。看清楚了，都是“初等”！有人叫“高等函数”，只不过是相对于“Kindergarten Functions”来说的；函数不过是代数与坐标几何的结合。美国人的教学大刚里只有算术、代数和微积分，加个前缀pre-或者下标1、2, 也还是这些内容；几何被他们穿插到Algebra1和Algebra2中去了。微积分在高中数学竞赛中是用不上的；当然，如果能够掌握极限与微元、积分的思想，对于CMO、USAMO、IMO等等XMO，那是大有益处的。

普通的学校代数只教式子的运算（加、减、乘、除和幂）、方程以及不等式。式子包括整式、分式、根式、指数式、对数式、三角式和其它自定义的式子，如阶乘、取整、行列式等。运算规则共有五组：（1）交换、结合、分配、消去律，（2）幂的乘、除法则，（3）幂的加、减法则，包括二项式定理，（4）对数的运算法则，（5）一些级数的求和公式，如等差、等比数列。方程和不等式只解到二次。

竞赛中的代数要解三次及更高次的方程及不等式。三次、四次方程有固定的解法，五次或以上的方程没有根式公式，但是可以用根与系数的关系（Vieta’s Theorem）、牛顿恒等式去得知根的信息；或者用连续函数的介值定理去确定实根的位置。虚数根总是可以求出的，只要用上我发明的辗转降次法。在竞赛数学中，还得知道复数的运算规则、三角表示以及在几何中的应用。此外还有连分式、无穷次嵌套的根式/指数式的运算与方程求解。

不等式的证明是一个难点。需要掌握一些基本的不等式，如Bernoulli不等式、平均值不等式、Cauchy不等式、Jensen不等式、Holder不等式、Minkowski不等式。对于单变量的不等式，可以用导数的正负去判定函数的单调性，不等式总是能推出来的。对于多个变量的、带条件的不等式，可以通过变形、变量代换，灵活运用上述不等式可以推出；如果知道微积分中的拉格郎日乘子法，则没有不可证明的不等式。

初等数论在学校里就没有正儿八经地教过；有的老师连1是不是质数都不知道。大多数学生除了2、3、5的整除规则，因数分解的列举法、树状图法外，其它一无所知。有个学生在考Fermat竞赛时，去分解一个四位数的正整数，用的是树状图（她只知道此法），还没有等到她分解完，考试就结束了。IB学校里选修初等数论时，应学的内容有：整除、质数的基本性质，Euclid辗转相除法（求公因数的一种算法），算术基本定理，同余式，数论函数，不定方程。在数学竞赛中，不定方程是一个难点，因为没有固定的解法。一次、二次及分式不定方程有固定解法，但没有解的初等函数表出的公式，需要用到三角和、复积分。其它方程一般只能猜猜试试，使用任何相关的ad hoc arguments，得到部分解也好。任何一个不定方程的解答或解法，都可以当作一篇论文发表。有关存在性的证明题，更是需要构造性的思路；你可以套用勾股数、海伦数，要想到理想数、代数曲线可不是件容易的事。如果能够构造出一种新的数学结构，其意义将远大于数学竞赛本身。

学好代数的关键是学会如何列方程式。普通学校教出来的12年制中学生大多不会列式，也就是不知道把人类的自然语言翻译成数学语言：用数字、符号和形状表出的关系式。找关系式只需要掌握两点：一是套用别人总结好的公式、定律或法则，二是用不同的方式去表述同一个量。我们有直接与间接，正与反，分与合，穷举、归纳与演绎等等对立方式，还有各种不同的公式；比如三角形的面积公式就有十个之多。有此，坐标几何或者所谓的解析几何也就搞定了；因为几何形体的形成规则是告诉了你的。至于运动轨迹未知的形状，需要用到各种各样的力和牛顿运动定律，学校里的数学老师们是不懂的；考生们只能在物理竞赛中遇到了。

学校几何只教几种基本图形（多边形、圆、多面体、球、圆柱圆锥）的度量，这些图形的部分如扇形、球台、圆台的度量也不会教。至于各种度量之间的相互关系，只有勾股定理、全等/相似图形、正/余弦定理。在数学竞赛中，考生还得知道：正切定理、Stewart定理、角平分线定理，圆内角与边的关系（包括Ptolemy定理、Brahmagupta公式），四点共圆的条件，三角形的各种中心，越多越好。最重要的一点是，知道如何作辅助线！

计算性的几何题可能需要三角学，那30来个三角恒等式必须熟记于心。我至今还没有遇到一个中学数学老师或学生，能够把所有三角恒等式背下来或者推导出来。如果不会三角学，那就只能用坐标几何或者向量代数了。坐标几何中，关于距离、角度、面积、体积的公式不多，是人都可以记住，但是，方程解起来就麻烦了；有时候不得不放弃。一个折中办法是用向量；任何直边形（多边形、多面体）问题都可以解决。遇到曲边形时，2维平面上可以使用复数的极坐标形式，3维空间里可以使用四元数。有式可表的形体，它的度量或性质只是几步代数计算而已。人类已有几何定理的机器证明，就是通过代数化实现的。

无式可表的学科要数组合数学了，它包括计数、组合恒等式、组合设计、组合几何等。学校里的计数只教加法原理、乘法原理、容斥容理、鹊巢原理（Dirichlet Principle）, 公式只有不重复或可重复的排列组合、和取物不限个数的方法数，共五个。要参加竞赛，考生还得知道递归计数法、一一对应法、生成函数法。组合恒等式的推导有两种方法；一是通过导数或者积分化为等差/等比级数的求和，这需要微积分。二是设计一种计数环境，用两种不同的方式去数同一个量。

在一些动态计数过程如数学游戏中，可以用集合来表示状态。具有必胜策略的数字游戏，必胜的状态可以递归地表示出来。我做遍了所有数学竞赛中的数字游戏题，发现它们的必胜状态都可以公式化。至于棋盘类的游戏，状态函数可以用矩阵表示；涉及到概率的，可以示Markov链去表示。游戏题好玩又开动脑筋，可是太耗时，竞赛中一般放到最后才去做它，即使出题者把它放在前面；除非你以前做过那种游戏。

在竞赛数学中，还有逻辑问题。命题逻辑、谓词逻辑、递归逻辑不是中学数学的范畴，但竞赛中有不少命题（一阶）逻辑的问题。其实，学会三段论推理是学习任何学科的前提！如果连逆命题、否命题、逆否命题的概念都不清楚，那你推出来的结论又怎么合符常理？我从高中一年级开始给学生们讲最简单的数理逻辑，绝大多数的人都是能够明白的。句式都可以公式化，连结词就那么三、五个；我还试图把数理逻辑机器化呢！

还有一个多月的时间，这个学年的各种数学竞赛就要登场了，你准备好了吗？我还是那句话，考不好没关系，考好了就大有关系！