数论人生

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复变函数原理

(2022-01-21 11:50:04) 下一个

在16世纪中叶(1540年代),当意大利数学家们为了解三次方程而引进虚数时,那仅仅是一个记号而已:三次方程的求根公式中,两个相加的立方根号下,还有一个数加或减一个平方根;只有平方根下的式子为负数时,三次方程才有三个实数根。那时候的数学家们是不接受虚数的:本来负数就够让人无法理解的了—比零还小的数是什么呢?零不是代表一切都空无吗?可虚数的出现,促进了人们对负数的接纳:那只不过是表示相反方向的量而已。

在1637年,Descartes使用了“虚数”的概念,以区别于“实数”。许多大数学家,如Leibniz, Euler, 及 de Moivre研究了虚数与三角函数的关系;Euler还用i表示虚数单位(-1的平方根)。1797年,挪威数学家Wessel引进了复平面,并且用向量来表示复数。紧接着,1806年,Argand把复数表示为模与幅角的三角形式 |z|(cosA + isinA);1837年,爱尔兰数学家Hamilton使用实数对(x, y)来表示复数;因此,复平面就等同于迪卡尔的座标平面,也与极座标联系在了一起。历时近300年,人类才完全理解了虚数的概念。

然而,到了21世纪20年代的今天,这个世界上还是有三分之二以上的人,一辈子都不知道虚数为何物。中学生只有学IB或AP者,才会接触到虚数;我曾经问过Princeton大学应用数学专业的一个学生,学过《复变函数论》吗?没有。她进入了Wall Street,挣着大钱,这种虚无缥缈的东西与钱数无关。数学理论,那是数学家们的游戏,所谓认识世界的崇高理想,与普通人的吃喝拉撒无关。

现实世界中用得着虚数吗?为什么Schrodinger方程中会出现i? 难道物体的质量可以是虚数?我们知道,自然、社会现象都是周而复始(再带有一定的振幅),要表示有界函数的周期性,非sin、cos莫属(所谓的Fourier级数),而正、余弦函数可以用一个复指数函数表出;振幅可以用指数中的负实部表出。另一方面,在保守力的作用下,物体的运动轨迹一定是平面曲线—这也符合最小能量最大空间的原理;平面上的向量,一个复数就表出了。可以说,物理学比数学更多地用到复数。

在数学中,复数域是完满的:任何复系数的可数级数,其根(如果有的话)都可以用复数表出。特别地,我们有代数基本定理:任何次数大于或等于1的复系数多项式,必定至少有一个复数根。很多数学家都试图去证明它,真正正确的证明,是Gauss在1816年给出的;他使用了复变量函数的积分。在复变函数中,亚纯函数在一个区域内的零点和极点的个数,可以用其幅角绕行边界曲线一周的改变量来表出(幅角原理)。这种围道积分的技巧,是实积分无法比拟的。有了复积分,实函数的黎曼积分只不过是一个推论。

复变函数f(z)沿着一段曲线的积分是这样定义的:把曲线段用一些点Z(k)分成许多小段,在每个小段上取一点P(k),作乘积f(Pk)[Z(k) – Z(k-1)],对K求和,让所有的小弧段的长度趋向于零;如果极限存在,其值就叫函数沿此段曲线的积分。可以证明,连续函数在有限长的弧段上一定可积。这里的两个复数相减,Z(k) – Z(k-1),其实就是一个向量:只不过第二分量带有i。如果f是保守力,它的方向必定与此向量垂直(从微分的角度),乘积式f(Pk)[Z(k) – Z(k-1)] 反映了保守力所作的功;可如果是用实积分的话,垂直向量的点积为零:这部分能量就被疏忽了。

复积分的计算有线性运算公式、分段计算公式,但沿相反的方向积分时,其值反号。对于解析函数,我们有重要的柯西积分定理:在单连通区域内,积分与路径无关;或者说,沿任何一条闭曲线的积分为零。这一定理还可推广到多连通区域。

有了柯西积分定理,就有了柯西积分公式:它把一个解析函数在一个区域内部的值,用区域边界的围道积分表示出来;进而,我们能把它展开为幂级数,并容易地写出它的任意阶导数公式。奇妙吧,解析函数的值,完全由其边界上的值确定!而且,只要有一阶导数,就有无穷阶导数!再进一步,我们有了各阶导数的估值不等式,并可由此推出刘维尔定理:有界整函数必为常数。据此,很容易地用反证法证明代数基本定理。

复函数的导数与实函数导数的定义一样,是函数值增量与自变量增量的比值,当自变量增量趋向于零时的极限;只是这个极限有点像二重极限。此极限存在的必要条件是函数f的实部u和虚部v满足柯西-黎曼方程;进而导出它们都是调和函数(满足拉普拉斯方程);充分条件是实部、虚部均可微,并且满足柯西-黎曼方程。

在一个区域上可导的函数称为解析函数。解析函数的求导法则与实函数一样,有加、减、乘、除及复合函数求导法则。初等函数的导数公式也是类似的;只是根式函数、对数函数是多值函数,求导时必须指定某一单值分支。解析函数具有很好的几何性质。导数的模是弧长的伸缩系数,幅角是切线转过的角度;可以证明,在解析变换下,曲线的角度保持不变。

解析函数还可以展开为幂级数,如果它的n阶导数不比n!还大的话。幂级数如果对所有的自变量的值都收敛,那就叫整函数;不然,幂级数就有一个有限的收敛半径。此半径等于从圆心到与之最接近的、使得函数不再解析的点(称为奇点)的距离。奇点有孤立的(又叫极点)与非孤立的。在孤立奇点的邻域内,函数可以展开为洛朗级数。

在分离出孤立奇点后,解析函数可以延拓到收敛圆之外。这种延拓还是唯一的,因为我们有解析函数的唯一性定理:在一个区域内的两个解析函数,如果在一条曲线上的取值相同,那么,它们在整个区域内都相等。仅有孤立奇点的函数叫做亚纯函数。这种函数的围道积分可以用奇点的残数(Residue)表出,而这些残数可以用洛朗展式求出。这样就使得很多积分能够简单地算出来。

一个幂级数的零点,便是它的倒数的极点。倒数的幂级数的系数,可以用多项式定理求出;再用收敛半径的极限公式,就可以求出幂级数的第一个零点。依次类推,就可以推出第二个、第三个;最多再用上待定系数法,就没有解不出的方程。我就是这么解决黎曼猜想的。

当n阶导数的模远大于n!时,可以使用gamma函数的积分表达式:在指数函数的指数中,引进变量n的适当幂次,比如,黎曼zeta函数的开拓只要到二次幂即可。更大的函数,就要使用无穷乘积、或者先取对数了;这正是数学的本来目的:解方程,得出一个具有某种收敛意义的解;如果不考虑收敛性的话,任何现象都是可以量化的—如果你会使用复数的话。

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阅读 ()评论 (3)
评论
炒股怡性 回复 悄悄话 回复 '欧洲联盟' 的评论 :
谢谢回复。
欧洲联盟 回复 悄悄话 回复 '炒股怡性' 的评论 : 你说的是复数模为1的特例。实际情况中,波的振动都是damped,必须有一个小于1的模才行。
炒股怡性 回复 悄悄话 数学门外汉问个问题,,
是否 F(z)=F(cosx+isinx) 这种复变函数才有实际运用的意义?

谢谢
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