数论人生

数论是一门学科,也是我的人生。有人把酒论英雄,我用数字描天下。
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几何学的最高境界

(2022-01-14 22:02:49) 下一个

在我刚到加拿大时,翻看了安省的数学教学大纲及其说明;其中一句话让我百思不得其解:Geometry must go! 几何必须滚蛋?在他们把中学13年制改为12年制(始于2002年,我移民的第一年)时,把13年级的《几何》与《微积分》合并成了《Calculus and Vectors》塞到了12年级(也不知道把函数合并到11年级),让学生们从11年级进入到12年级时,几乎就像从小学升入大学那般困难!而整个的几何内容,到九年级时才学了球和圆锥的体积与表面积,常见几何图形的基本性质那是根本不提!全等与相似的概念到了十年级才开讲,十一年级根本就没有几何;到了十二年级就只教点向量的概念和运算、而且是在微积分之后,你让学生怎么去学好数学—关于数字与形状的学问?

有人说,这是政府故意而为:就是让学生们上不了大学、即使上了大学也毕不了业。为啥?要你早早去打工,给老人们养老挣钱。我认为是教学大纲的制定者都没有大学毕业,不清楚整个数学的结构,更不知道最高端的数学是什么,甚至可能连什么是《数学》都不知道。我曾经写博文说,在加拿大搞创新就是一个笑话;结果有网友回复说,加拿大不是制造了国际太空站上的机械臂吗?可以肯定的是,那个机械臂的设计者肯定是在校外学了别的几何知识。

近日有学生要去参加EGMO(European Girl’s Mathematics Olympiads]的选拔赛,发现那一日三题之中必有一道平面几何证明题(另外两道多为函数与组合数学);这可咋办?从小学到高中都没有被教过几何证明题。几何证明通常有三种办法:一是从已有欧氏几何定理推导,可谁记得那么多的定理?还要巧作辅助线才行。二是坐标化。我记得中国数学家吴文俊,搞出了几何定理的机器证明,基本出发点就是坐标化,据说还要使用拓扑学的知识;可惜,我们并没有见到适用的应用程序。如果一个个点设未知数去列方程的话,还不知道何年何月才能解完。第三种方法是使用向量。它介于纯粹推理与坐标化之间;既不需要作辅助线,也不需要解大量的方程。缺陷是,对于曲边形很麻烦。

有不有三全其美的办法呢?有。在二维空间里使用复数,在三维时空中使用四元数。对于平面上的任何曲线,一个单参数的复数表示就够了。两点间的距离是两个复数之差的模;一个点绕另一个点的旋转,只要乘以一个指数函数;以一点为中心的伸缩,只要乘以一个适当的倍数。两条曲线的交点,通过解方程就可求出(用模与幅角,不必涉及到坐标)。切线、弧长、面积,可以通过导数和积分求出。这真正做到了代数化,能有一个软件自动计算就好了。

四元数从它被Hamilton发明之始,曾经在英国受到大力追捧。由于其乘法运算的不可交换性,开方运算的无穷性,带来许多不便,后来又被向量取代了。现在只有计算机专业的人士还知道一点,数学家们都抛弃它了。但是,用数来表示形确实是方便的;我们就没有其它种类的数了吗?点集拓扑学中没有分析,微分几何中没有计量;难道就不能在高维空间里,用一个数来代替一个向量?让它的某些运算可以表出大小的计量?

在内积空间中,我们可以定义长度、正交的概念;在复空间里还是无法定义角度。向量乘向量等于向量的运算,至今没有定义(在三维以上的空间);其实这是可以做到的。把角度复数化就可以了,再加上正交投影为最短距离的公理。在有限维空间里的分析学便可以建立起来;无限维的空间呢,现实中不存在,只不过是数学家们的想像罢了,不要计量分析也罢!

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欧洲联盟 回复 悄悄话 回复 '务实小民' 的评论 : 等我的下一篇博文吧。我做了很多年的竞赛辅导了,这几天正忙于一个竞赛,不可开交。
务实小民 回复 悄悄话 哈哈,一下子把老兄几十篇博文都溜了一下。
强烈建议这么有激情,数学水平那么高的博主,降低身段做一件对广大华人有意义的事情。
探索一下,怎么在北美提高数学竞赛水平,这是家长特别关心,实际上也是功德无量的事情。
欧洲联盟 回复 悄悄话 回复 'areYOUsure' 的评论 : 四元数不是两个复数加在一起,也不是四维实数;有点像爱因斯坦的时空表示:ct + xi + yj + zk。满足结合律、消去律的多元数只能有2的次幂个分量;我感兴趣的是,能不能定义矢量积运算,不是张量积。
areYOUsure 回复 悄悄话 四元素体不是与两个复数等价么?应该是4维实数吧?
SAR 回复 悄悄话 作者说得很清楚呀。连俺这个非数学行当都大致明白他的思路
欧洲联盟 回复 悄悄话 回复 'Zzyx' 的评论 : 看来各位没有看懂:我说的最高境界是,引进多元数去描述形体,再结合分析学,用计算机编程去实现数与形的大一统。
深度思考 回复 悄悄话 几何基础比较差的学生,如果聪明,可以用代数化去做奥数题。除了博主说的复变,三角是更加普遍使用的方法。但是这就是因陋就简,暗度陈仓而已。怎么能说是“最高境界”呢?很难想象,博主是王元的研究生。
Zzyx 回复 悄悄话 作者最终想要说明什么?_?
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