数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
数学是从数字的角度来描述自然现像；按照现实的需求，至今已发展出了五大分支：
几何：为了直接丈量土地而产生的《欧几里德几何》。为了间接测量而生的《仿射、投影几何》。无穷远处的《非欧几何》。精准定位的《解析几何》。极值化的《微分几何》。最一般空间上的《拓扑学》。模形式化的《代数几何》。
代数：研究数字及变量运算规则的《初等代数》。研究一般代数结构（群、环、域、模等）的《抽像代数》。研究有限维向量空间的《线性代数》（《高等代数》则包含多项式的理论）。研究整数性质的《数论》。方程的根式解由《伽罗华理论》否定。《组合数学》研究计数与组合设计。《图论》或者《离散数学》纯粹是为了好玩而已。
分析：《微积分》，这是人类数学认识史上的第三次、也是最后一次飞跃：极限概念的引进。《实分析》推广了度量的概念。《复分析》让一切求根问题得以解决（尽管只是理论上的）。《微分方程》给出了一类函数方程的解法（尽管不是全部的解）。《泛函分析》高度概括了经典分析的结果，无穷维空间的性质也被彻底揭示。《张量分析》是为了满足物理需求而人为组数的结果。
数学基础：包括《逻辑学》、《递归论》《集合论》、《范畴论》、《可计算性理论》、《证明理论》、《构造数学》。
应用数学：《概率论》，《统计学》（含《随机过程》），《博弈论》，《系统和控制理论》，《数学规划》，《运筹学》，《数值分析》，《数学物理》，《计算生物化学》，《计量语言学》，《计算机科学》，没完没了。
为什么要设这么多科？因为要研究的对象太多。主要的数学对象有数、集合、空间、函数或对应；怎么不说形状呢？那不过是一种对应关系。数有多种：单个的数，包括自然数、整数、有理数、实数、复数、四元数、八元数，任何二的幂次都有对应的一种数；组合的数，有向量、理想、矩阵、张量、可数维度的级数（或乘积）、连续维度的积分、超连续基数的表示式。
集合就不止是超连续基数的范围了：你把任何东东放在一起，都可以叫做一个集合；唯一的要求是，得有一个确定的规则，可以判定任何一个东东是不是在这个集合里，甚至只是一定的可能性在此集合里。数学里的集合，就跟物理中的物体一样广泛，根本就不可能列举，有的甚至都不可描述：人类的科学太微不足道了。
空间是具有一定结构的对象的集合、或者集合的集合。这些对象之间存在某种关联；结构指的就是对象之间的相互关系。在物理、化学中，可能是它们之间有某种相互作用力、或者有发生某种化学反应的趋势。在数学中，关系是完全抽象的：可能是顺序关系（或者位置关系、包含关系？），连接（或者靠近）关系，合并或者分离关系，变换（或者运算）关系。任何一种关系，都需要一些公理来控制、规范，空间才会达到某种暂时的稳定性，那怕是昙花一现，也才算是存在过。
不同的空间之间，肯定存在某种联系；基于这样一条公设：任何存在，都有因果。八杆子打不着的，八百杆子、八万杆子肯定够得着！数学上就人为地构造了两个空间之间的对应、或者变换规则；那些称之为函数的，就是把一个个体对应到一个数而已。那些称之为变换或者算子的，就是把一个东西变换成另外一个东西。几何里的n维流形，就是从n维空间里的一个区域到m (≥ n) 空间里的一个映射。任何集合的构造，都可以用映射来表示。
数学工作者们要做什么呢？教师自然是把已知的东西，一代代往下传；若偶尔有点新发现，则会成名成家、向数学家的行业靠拢。数学家们则是查缺补漏：已有各对象之间的关系都弄清楚了吗？出现新的研究对象没有？它与已有对象有什么关系？更重要的是，开创新的研究方法；可各门学科都有自己的方法；要掌握已有的方法，就得花费好一阵子的功夫。
- 配方法；
- 归纳法；
- 换元法；
- 穷举法；
- 演绎法（套公式）；
- 补集法（间接计数法）；反证法；
- 倒推法；
- 待定系数法；
- 分组、按位相加法；
- 用抽屉原理证明存在性；
- 求公因式的辗转相除法（整数、多项式、矩阵、任何整环）；
- 卷积（叉积）法（数列、递归）；
- 数列的积分表示法；
- 不可约数式的判定方法；
- 解三次方程的Cardano方法；
- Tschimhausen变换法；
- 多项式插值法；
- 有限差分法；
- 拆项法（部分分式分解法）；
- 解一般方程的二分法；
- 牛顿法（解方程、数值分析）；
- Fermat最速下降法（不定方程）；
- 圆法（解不定方程）；
- 模化法（同余式约简）；
- 解差分方程的Laplace方法；
- 高斯消元法；
- 矩阵的行（列）变换法；
- 逆变换法（数列、函数、积分、级数）；
- 基底表示法；
- Gram-Schmidt正交化算法；
- 原子、分子轨道的线性组合方法（化学）；
- 微元法；
- 凑全微分法（可先乘以一个因子）；
- 上、下极限（积分）夹逼法；
- 用中值（介值）定理证明存在性；
- Dijkstra算法（图论中求最短路径）；
- 位相法（估计大参数积分）；
- Lagrange 乘子法（求条件极值）；
- 线性规划的单纯形法；
- 求最优函数的变分法；
- 最小二乘法（统计、函数逼近）；
- 正交分解法；
- 扰动法（泛函分析、量子理论）；
- 活动标架法（微分几何）；
- 特征值法（解差分、微分方程，矩阵、线性变换的对角化）
- 分离变量法（解微分方程）；
- 变系数法；
- 首次积分法（解微分方程）；
- Green 函数（构造边值问题的解）；
- 势函数方法；
- 围道积分法（复变函数）；
- 矩法估计（统计、理化）；
- 极大似然法；
- Monte Carlo方法（统计，计量理化）；
- 不动点方法（泛函分析推存在唯一性）；
这里列举的，肯定不是全部已知的；而且，只要还会出现新的问题，就会有新的方法被发明出来。问题的结果，只能说是被发现；但是，方法，一定是真正的发明。在学校里学习现有知识时，只要掌握了相关的方法，就没有学不会的东西。再难的问题，只要有一定的理解能力，都可以解决。
