科大瞬间
《科大瞬间》与您分享中国科大校友和教师校园内外真实、亲切的回忆以及多视觉、多维度的人生感悟。
【科大瞬间】特刊
《我们心中的科大》--建校60周年庆
纪念数学大师华罗庚
龚升
今年是数学大师华罗庚教授九十诞辰及逝世十五周年，国内外数学界要举行各种纪念活动。
华老在国内可谓家喻户晓。在众多大、中、小学校园中，都可以在教室中见到他的画像，邮局发行过纪念他的邮票，有多本描写他生平的电视剧在中央电视台及各地电视台播放过，在中华世纪坛上有他的名字，有众多以他命名的学校、丛书及公园，在不少地方有他的铜像，例如：中国科学院数学与系统科学研究院，中国科学技术大学，清华大学以及他的家乡江苏金坛等，国内科学家中能享有这样盛誉的为数不多。（下图为本文作者龚升与华罗庚的合影）
我们为什么要纪念他？因为他是中国现代数学的奠基人。“很难想象，如果他不曾回国，中国数学会怎么样”(A. Selberg 语)。因为他是国际上一流的数学家，对现代数学的发展，作出了很大的贡献，在国际上享有很高的声誉，因为他有崇高的品德，因为他走上了“不为个人而为人民服务”（毛泽东主席致华罗庚信中语）的道路，永远值得我们学习。
已经有很多著名的数学家为华老写了传记对他的工作作过评论。其中有：王元，Stephen Salaff, H. Halbarstam, G. B. Kolata，杨德庄，Andrey. A. Terras, P. T. Bateman, L.Schoenfeld, M. Cugiani, K. Mahler, G. Greaves, J. W. S. Cassels,R. G. Ayoub, J. B. Robers, M. I. Graev, A. Koranyi, W. K. Hayman,E. Hlawka, E. Grosswald, C.Schweigman, S. Zhang, 丘成桐，杨振宁等等。
还有一些数学家写了悼念他的文章，当然也说到了他的生平及对他的评价。其中有：段学复，田方增，H. Halberstam，弥永昌吉等等。至于他的整个学术成就，1983 年，Springer-Verlag 就已经出版了他的选集，" Selected Papers, Loo-Keng Hua"，由 H. Halberstam 主编。据我所知，能在Springer-Verlag 出版选集的中国数学家，实在寥寥无几。除了华老以外，大约只有陈省身与许宝录。要把这些数学家为华老写的传记以及对他的评论在这篇短文中作介绍，既不可能也无必要，但是这些数学家所写的文章，往往是客观公正的评价华老的最有力的佐证。所以在这篇短文中摘引一小部分的内容以作为对华老的纪念。
最近诺贝尔奖获得者杨振宁教授说到：“从过去发展的历史可以看出来，中国最早得到世界绝对第一流研究成果的，也是在数学领域，华罗庚先生、陈景润先生就是证明。”
在这方面说得更具体的有Fields 奖获得者、数学大师丘成桐教授的如下的一段话：“中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个，当然我不是说其他工作不存在，主要是讲能够在数学历史上很出名的有三个：一个是陈省身教授在示性类 (characteristic class)方面的工作；一个是华罗庚在多复变函数方面的工作；一个是冯康在有限元计算方面的工作。我为什么单讲华先生在多复变函数方面的工作，这是我个人的偏见。"
华先生在数论方面的贡献是大的，可是华先生在数论方面的工作不能左右全世界在数论方面的发展，他在这方面的工作基本上是从外面引进来的观点和方法，可是他在多复变函数方面的贡献比西方至少早了十年，海外的数学家都很尊重华先生在这方面的成就。所以，我们一定要找自己的方向，我想这是一个很重要的看法。我们要从数学的根本上找研究方面，我们近廿年来基本上跟外国的潮流。我们没有把基本的想法搞清楚，所以始终达不到当年陈先生、华先生或冯先生他们的工作。我想我们一定要找自己的方向，可是我们在很多方面的知识还很缺乏。我们一定要在了解了其他方面的 发展后才能发展自己的方向。丘先生的这番话十分重要，不仅客观、公正地评价了华老，还为中国现代数学研究指明了方向，"一定要找自己的方向"，而这正是我们应该很好地向华老学习的地方。
Stephon Salaff 写的华罗庚传记是 1977 年写的，当时国内 正是文化大革命期间，这是西方数学家写的华老的传记中很好的一 篇。他对华老学术上的评价客观正确。我想这是由于此文作者得到 了丘成桐教授的帮助之故。不妨在此多引用一些他的文章中的段落。因为此文是反映西方数学家对华老评价的最有代表性的著作之一。 文章的第一部分 I. 导言开始就说：“他的工作范围之广阔，使他堪称世界名列前茅的数学家之一”(Lowell choenfeld，……)，这是发表于《美国数学会通讯》上的中华人民共和国唯一的美国数学会会员华罗庚的结论。
1910 年，华罗庚出生于江苏省，他的研究工作很大地丰富了数学的文库—在 1939 至 1965 年之间，他所发表的书与论文被《数学评论》(Mathematical Review)评论过 105 次。1950 年，他从美国回北京后，即活跃于中国的数学界。回国前，他在普林斯顿高等研究院与 Illinois 大学工作了三年之久。由于他突出的数学成就，在他还不到四十岁的时候，他就已经成为发展中国高等教育不可或缺的人才了。虽然在国外数学家以外的人士中，人们并不熟悉他，但他的名字在中国大陆的文学作品中，一直被作为骄傲而描写着。
为了了解中国近代数学的贡献及近代科学的发展，人们必需熟悉华罗庚的一生。
在该文第二部分 II 1910－1950 中写道“华罗庚毕业于他的家乡江苏金坛县立初中（相当于中学的前两年），然后进入上海中华职业学校完成了两年制专业的前一年半的课程。迫于家境贫寒，在他十五岁的时候就辍学回家乡金坛县，协助他父亲经营他的家庭小店。华罗庚的父亲对他的独生子专心于学习很不高兴。关于华罗庚的一个通俗传记上登载了一幅漫画：他父亲穿过店堂追赶他的儿子，小男孩恐惧地抓紧胸前的几本数学书，父亲威胁地要把他的书烧掉。画面上还有一张华罗庚帮助他父亲算帐用的小桌子，桌子上还放着 一个算盘。”
如同绝大多数数学家一样，华罗庚在很年轻的时候就显露出他的数学才华了，他开始自学现代数学，当他 19 岁的时候，他就在上海《科学》杂志上发表论文并引起了注意。同一年华罗庚患了致命的伤寒病，接着又患了关节炎，使他的左腿终生受了残疾。但他忍住了病痛及以后在战争年代中的艰苦。华罗庚的著作受到了北平清华大学算学系主任熊庆来的注意，并企图提拔与安排上海的这篇文章的作者。起初清华大学算学系的教师与“留学生协会”中都没有人知道华罗庚这个人。后来，一位江苏省籍的教师告诉熊庆来：华罗庚不是大学毕业生，甚至不是高中毕业生，只是小村镇中的一个会计。为了“发现”华罗庚，熊庆来不顾这些困难，亲自邀请他来北平工作。华罗庚是 1931 年夏到达清华大学的，他只能在算学系担任“助理”职务。由于没有文凭，他只可能获得这样一个小职员工作。但不久之后，他被晋升为教员（相当于助理教授），……，早在三十年代，陈省身就是华罗庚在清华大学的同事之一。
“华罗庚与陈省身被看作是当今中国的领袖数学家。为了达到这水平，他们都离开中国出国留学了。中国数学的简史说明了为什么那时有能力的中国年轻数学家都要出国去。
1936 年至 1938 年，华罗庚到英国参加了一个优秀数论集体。其领袖人物是 G. H. Hardy, J. E. Littlewood，1945 年下半年他访苏，与 Vinogradov 进行了学术交流。1946 年，在闻一多被暗杀后，他去了美国，先在 Princeton 高等研究所，后在 Illinois 大学当教授，直到 1950 年回国。这段时间，他在数论、代数、几何与多复变数等多个方面写了大量杰出的论文，而名震国际数学界，我们继续摘引 S. Salaff 文中的介绍吧！“这些年来，认识华罗庚的美国数学家都对他的清楚而直接的数学方法，知识的深度与他的天才，怀有深深的印象。他的兴趣很广，包括多个复变数函数论、自守函数与矩阵几何学。活跃的数学家们对于华罗庚的重要而又范围很广的贡献都很熟悉，因为他们经常不断地在引用华罗庚的结果。我对微分几何学家、代数学家与数论学家提起华罗庚这个名字，所有的人都立刻明白了。当一个群论学家听到我重复这个中国名字时，他说”我们有一个关于同构的定理，叫做‘华氏定理’，那必定是同样一个华”。“一个了解华罗庚的数学家－－Berkeley 的数论学家 Derrick Lehmer 告诉我：“华罗庚有抓住别人最好的工作的不可思议的能力，并能准确地指出这些结果中可以改进的地方。他有许多自己的技巧，他广泛阅读并掌握了廿世纪数论的制高点，他的主要兴趣是改进整个领域，他试图推广他遇到的每一个结果。在某些方面，他的工作很像I. Schur，甚至 Nobert Wiener，他们二人都对数论作出过深刻的贡献，同时也将研究推广到其他领域。
Lehmer 还指出，“像华罗庚与 Schur 这样的‘全才’的新的兴趣都是从他们过去的领域中引发出来的。例如用某种幂级数的系数给出的数论方程的解数估计，事实上就可以想象为华罗庚从解析数论到复分析所架起的桥梁。”
S. Salaff 的传记对华罗庚的生平及研究工作的特点写得十分生动与深刻。1950 年在新中国刚成立时，他就抛弃了美国的优越条件回到了新中国，担负起新中国建立现代数学的重任。之后在历次运动中，他受了不少委曲，尤其在文化大革命中，他始终能正确对待。
1986 年，H. Halberstan 在悼念华罗庚的文章中有这样一段话。“如果华罗庚曾经懊悔在他才华的高峰和思想敏锐的时候离开了美国的话，那么他后来重访西方时，他不能收回失落的时光，而他对自己祖国的献身是无条件的和坚定不移的。”
事实上，据我与华老几十年朝夕相处的接触，他从未懊悔过，即使在最最困难的文化革命中也是如此，其原因就在于“他对自己祖国的献身是无条件的和坚定不移的”。这正是华罗庚伟大所在。
在 Kolata 的文章中也可见到类似的议论。G. B. Kolata 在文章中的最后一段话是这样说的。
“经过所有这些努力，华罗庚终于在西方世界驰名，也对中国 数学产生巨大的影响”。贝尔电话公司的 Ronald Graham 是华罗庚 这次美国之行的主人之一，他说“他比起历史上任何一位数学家来，受他直接影响的人可能更多，他善于推销数学”。
Princeton 高等研究院的 Atle Selberg 深思熟虑地说，“要是华罗庚像他的许多同胞那样，在第二次世界大战之后仍然留在美国的话，毫无疑问，他本来会对数学作出更多的贡献的。另一方面，我认为，他回国对中国数学也是十分重要的。很难想象，如果他不 曾回国，中国数学会怎么样。”
Kolata 的文章写于 1980 年，说的是文革后华罗庚访美。我想 Fields 奖与Wolf 奖获得者 A.Selberg 教授对华罗庚的评价十分深刻地指出了他伟大的地方。的确，“如果他不曾回国，中国数学会怎么样”！因之，Kolata 文章的题目干脆叫作“华罗庚形成中国的数学”。在文章开始第一段，他写道：“数学，如音乐一样，以奇才辈出而著称，这些人即便没有受过正规的教育也才华横溢，虽然华罗庚谦逊地避免使用奇才这个词，但它却恰当地描述了这位杰出的中国数学家。华罗庚一直没有得过任何学位（直到去年才由法国 Nancy 大学授予名誉博士学位），然而他却成了数学界的大人物。他在有声誉的刊物上发表了 150 篇文章，写了九本书。”
Columbia 大学的数学家 Lipman Bers 说：“他绝对是第一流的数学家，他是极有天赋的人。”
说到数学奇才，人们很容易想起著名的印度数学家 S. Ramanujan, P.T. Bateman 在文中，写了如下的一段非常有意义的话，对他们二人的比较。
“华罗庚的经历是近代数学史中最令人感兴趣的事情之一。他出身贫寒，只受过九年正规教育，但他成功地从自学数学的天才青年成长为造诣高深，有多方面创造的数学大师。此外，他又是推动将数学工具最大限度地用于实际，强调好的数学教学法的重要性的带头人。以他自己的研究方向在美国与中国产生了巨大的影响。而且，他一直是中华人民共和国第一流的科学巨人之一。”
“将华罗庚与老一代著名的印度数学家史罗尼瓦沙·拉马努金 (Ramanujan)相比较是很自然的，他们既有惊人的类似之处，同时又有明显的差异。两人主要都是自学成才的，都得益于在哈代领导之下，在美国从事过一段时间的研究工作，对于沟通东方与西方的差异，并使其祖国步入数学研究的天地，各自都起了相当大的作用。他们像爱因斯坦在美国一样，最后成为本国传奇式的科学家。”
另一方面，他们两人之间又有截然不同之处。
“首先，拉马努金并没有全部完成由一个自学天才到一个成熟 与训练有素的数学家的转变，他在某种程度上保留了数学的原始性，甚至保留了一定程度的猜谜性质。然而华罗庚在其数学生涯的早期就已是居主流地位的数学家了，其次，拉马努金与哈代的接触更直接，更有决定性意义。例如，拉 马努金 1914 年到达美国以后，他送到印刷厂的许多论文都是哈代的手迹。
虽然华罗庚在英国工作时得益甚大，但他与哈代在数学方面的接触显然不是这样特别集中的。最后，拉马努金的自下而上的能力以及适应各种不同的生活条件的能力显然不足，华罗庚在某种意义下是一个自下而上者，他明显地能够适应各种不同的学术、政治与饮食条件。”
“判断一个数学家应该看他的研究成就，而不是看他得到的大 学学位的数目。对于华罗庚来说，他有很多成就，却没有一个学位。华罗庚的研究领域遍及数论、代数、矩阵几何学、典型群、多复变 数函数论、调和分析与应用数学。”
是的，华罗庚是“生存者”，因为他是强者。他的确“能够适应各种不同的学术、政治与饮食条件”，即使他在受到极不公正待遇的时候。他的学术研究领域，早已越过了 Hardy 学派的影响，而他“在其数学生涯的早期就已是居主流地位的数学家了”，这些正是华罗庚在学术上伟大的地方。
要引用国外数学家写的有关华老的精彩段落还很多很多。但本 文篇幅已经太长，应到此为止了。我想上述国外数学家们对华老生 平的介绍已是十分生动的了，对华老是国际上一流数学家的论述已 是十分深刻的了，对华老在国际上、国内的贡献的评论已是十分充 分的了。当然对华老五十年代以后的工作，尤其是在应用数学方面 的贡献介绍少了一些，但这部分往往为大家所熟悉的。对华老崇高 品德的介绍还可以说很多很多，对华老治学思想的介绍还可以说很 多很多，对华老教育思想及培养下一代的介绍同样可以说很多很多，但限于篇幅，所有这些都只能留待将来有机会写文介绍了。
最后要强调的是：介绍华老的生平及学术成就最全面、最完满的传记是由王元教授写的那一本。如果读者想更多了解华罗庚，我推荐读者读王元的书。本文只是从国外数学家所写的华罗庚的传记与评论中摘引一小部分，看看国际上是如何评论华老的，从这样一个角度来纪念华老。
《科大瞬间》文学城编辑部
许赞华 803 | 陶李 8112
刘扬 815 | 黄剑辉 815
滕春晖 8111 | 陈锦雄812 | 余明强 9115
陈风雷 786 | 沈涛 822 | Jay Sun 836
吴钧 856 | 王 
9015 | 林菁 8616
另一方面，欧几里得有个重要错误：视觉的Emission theory。所以科学逻辑的研究需要回溯到亚里斯多德、帕拉图和更早。
逻辑的起源其实跟毕达哥拉斯的错误有很大关系。巴门尼德的存在哲学会导致熵趋势。欧几里得实际上对帕拉图体系也有改进。
当代很多物理学家的理论都远远超越牛顿的理论，但没人比牛顿更伟大。华罗庚的研究超越了哈代也不奇怪。
从数学逻辑看，拉马努金的很多研究没有作逻辑上的推导。佩雷尔曼也没有完成庞加莱猜想的逻辑推导。但丘成桐教授认为中国数学家对证明该猜想的贡献大于佩雷尔曼的观点争议极大。这个争议可以用我的理论来解释：数学不同于逻辑，在两个方向都有不等因素。需要修正直觉主义数学的基础，重新认识直觉的规范和价值。
刚进大学时龚升教授在入门讲座上介绍过罗巴切夫斯基创立非欧几何。非欧几何的形成有两项关键工作：
1) 确认非欧几何公设和前四条公设相容。
2) 对欧氏几何和非欧几何作正确的新定位，即两者都是纯数学（所以都没有真理性）。这也是现代纯数学概念的诞生。
罗巴切夫斯基作了工作2），也就是发动了一场数学革命。所以，我对龚教授的教诲印象深刻，这抓住了一个关键问题。上述评论也算是对龚教授理念的补充和发展。