第79期 | 胡森 781

我所了解的吴文俊先生
胡森 781

恩师吴文俊先生两年前仙逝。每每念及，音容笑貌仍栩栩如生。他与人为善、平等待人的处世态度，令人铭记在怀。他的学术研究工作深刻且富于原创性，令人叹为观止。

吴文俊先生

示性类领域的学术贡献

吴先生以数学为毕生志业， 他最重要的成就在于对示性类的研究。J. Milnor 所著《Characteristic Classes》无疑是该领域最重要的著作，影响了上个世纪六七十年代众多数学家，被拓扑学家奉为圣经。而该书主要内容，则源自吴先生的博士论文。我的一位学生在巴黎访问期间，偶然见到一本吴先生的博士论文，如获至宝，买来赠我，我才得以细读。

吴先生将示性类归为三大类，即Stiefel-Whitney类、Pontryagin类和Chern类，他给出了示性类组合的定义，并厘清他们之间的关系。Milnor的著作只给出了抽象的构造，而忽略了组合的构造性定义，留下很大的遗憾。构造示性类的基础是分类空间Grassmannian的同调与上同调，Pontryajin用的是同调，陈省身先生用上同调并可用曲率来定义，吴先生在陈先生和法国导师Ehresman工作的基础上， 给出了示性类的组合定义。吴先生1965年考虑Composite Grassmannian上的Chow环，成功地在带奇点的代数簇上定义了陈类。他这项工作以中文发表，不久就因为“四清”运动和文革被迫中断。MacPherson 1974年用完全不同的方法(Mather建议的Nash blowup）也在代数簇上定义了陈类。吴先生的组合方法更容易定义，更方便计算，其优势值得进一步挖掘。

吴先生的博士论文封面

吴先生在示性类领域的另一项重要工作是定义了吴类。吴类作为模2不变量，与Stiefel-Whitney示性类可相互导出，二者在配边理论有基本应用。不过最近的研究表明，吴类可以在带奇点的空间上定义，而Stiefel-Whitney类则无法做到。1996年Witten使用吴类研究M理论中M5膜的构造，后来又用于研究作为D膜荷的K理论。这些工作被Hopkings-Singer提练为吴结构，是构造spin Chern-Simons理论的关键。三维spin Chern-Simons理论是理解分数量子霍尔效应的基础。在拓扑绝缘体研究中，Kitaev建议用K理论分类，而K理论与一般示性类的主要区别在于torsion部分，吴类在这里又起到重要作用。吴先生的工作被广泛应用于弦论和凝聚态研究，吴类和吴结构已与Yang-Mills, Chern-Simons, Calabi-Yau等工作一起载入史册。

其他领域的开创性工作

吴先生在中国数学史和几何机械化领域也作了开创性工作。在数学史研究方面，吴先生确立了这样的原则：从数学史的客观史料出发整理出规律，而不是简单用现代的数学概念来解释历史上的数学工作。这一原则看似平淡，在吴先生深厚的古文与数学功底之下被发挥的淋漓尽致。吴先生挖掘出九章算术背后的数学理论，例如出入相补法，并提出中国传统数学构造性特点。吴先生将中国传统数学求解多变量多项式方程组的方法用于初等几何定理的机器证明，取得了巨大成功。最近的一些研究表明，与其他算法如Grobner基算法等相比，吴算法可能在求解稀疏多项式方程组方面有优势，在大数据时代可能更有用。值得注意的是，吴先生的构造性数学思想也体现在拓扑与几何的研究里，贯穿于吴先生一生的工作中。吴先生对研究中的盲目跟风颇有微词，他的很多工作都是构造性的，并有极强的原创性，是数学工作的典范。

吴文俊先生

吴先生一些原创性的工作，刚开始并不为大家所理解。比如几何定理机器证明。其背后是计算代数几何，计算效率是关键之一。吴先生的工作还可用于微分多项式系统。为验证其算法的可行性，吴先生五十多岁开始学习计算机编程。他的工作后来得到美国符号计算与自动推理学界的承认，并荣获大奖。吴的算法还在不断发展中，可能在新一代大数据计算中发挥作用。

与人为善的处世之道

吴先生为人谦和，淡泊名利，与人为善，提携后学。我本人有幸多次得到他的鼓励与帮助。

我1983年从中国科大本科毕业后，经彭家贵老师推荐，到科学院系统所成为吴先生最早的硕士生之一。我在研究生期间，跟随吴先生在机器证明方面做了一些工作。当时吴先生身边是很需要人的，我却想出国深造。吴先生得知我的想法后欣然同意，尊重我的选择，并推荐我到普林斯顿大学数学系攻读博士学位。再后来，我寻求回国工作机会，吴先生又大力支持我入选中科院百人计划，于2001年回到中国科大任教。2010年中国科大筹划成立中科院吴文俊数学重点实验室，吴先生一如既往给予支持，还欣然题词：“祝中国科大为数学强国贡献巨大力量。” 后来虽取得了一些成绩，但距离吴先生厚望还有不小差距，惭愧！

2010年吴先生题词

记得在1996年，我曾到当时的美国数学会主席F. Browder家中做客闲谈。中间他提到吴先生七十年代末成立系统所，与华先生的数学所抗衡，我颇感意外。事实上，吴先生与华先生关系融洽，相互尊重。吴先生对于成立机构、担任行政管理工作并无兴趣。据说当时有人希望吴先生担任系统所所长，吴先生表示如要他当所长，他加入系统所就免谈。吴先生此前一直在数学所工作，是数学所的栋梁，1956年与华罗庚、钱学森同获首届国家自然科学一等奖。华先生1957年被打成不公开的右派，在数学所处境不佳。1958年科大成立，学术环境比较自由，华先生遂将工作重心转到科大。华罗庚、关肇直、吴文俊三位先生分别主持了科大数学系58、59、60三个年级的学生培养，那三届科大学子如今分别被称为华龙、关龙、吴龙。华老六十年代在科大成立数学所，吴先生是第一位受邀进所的研究员，后来因文革停止活动。科大数学所1978年在合肥恢复，2010年又以科大数学所为基础，成立了中科院吴文俊数学重点实验室。

除去数学前沿领域突破性工作之外，吴先生还组织大量的学术活动，让无数人受益。华老的大弟子陆启铿研究员曾长期参加吴先生的讨论班，他生前多次说过他的微分几何是跟吴先生学的。吴先生五十年代初讲de Rham定理的证明，后来讲高维Riemann-Roch公式的工作，陆先生都积极参加，七十年代初陆先生就意识到物理中的规范场就是微分几何中的联络。杨振宁先生建立了规范场与整体微分几何的全面联系，将数学与理论物理重新接上头，堪称当代科学研究里程碑式的工作。华老的另一位弟子龚昇教授，中学阶段就得到吴先生的指导，中学毕业时，吴先生赠送他一套微积分教科书。龚昇教授后来走上数学道路，与吴先生的影响不无关系。

今天我们缅怀吴先生，仍可深深感受到他的人格魅力与学术影响。先生之风，山高水长，虽不能至，心向往之。

作者在吴先生家中

文图编辑：张家干，刘扬，许赞华
排版编辑：许赞华，俞霄

《科大瞬间》编委会
许赞华 803|刘扬 815
黄剑辉 815|滕春晖 8111
余明强 9115|陈风雷 786|沈涛 822
Jay Sun 8364|吴钧 898
投稿邮箱：[email protected]
公众微信号：USTCMoment2