就不从头引证了。简单地说，就是欧几里德几何原本中的点和线的关系的理解。

俺说俺的理解是点排成线，线铺成面。也就是说，线上全是点。

网狼网友认为这种理解是错误的。俺也没细看他的正面阐述，零碎看了几贴，他的理解大概可以概括为：

线是空的，两端有点，中间没有点。

既然如此，就先看舞网友的论据：

根据舞网友的这个版，只看定义3： “线的两端是点”。

舞网友大概以为这句话的意思是“线只有两端是点”。

但这种理解是歪曲，因为“线的两端是点”并不必然解读为“线只有两端是点”。钱全是点时也可以说“两端是点”-----在线的两端可以看到点。端点与中间点的不同是，端点只有一面临点，另一面不临点。

这种解读是可能的吗？

至少从这个版本的原文来看，不能排除。

或者退一百步，承认线只有两端是点，中间是空的，没有点。那么这种解读跟几何原本构建的体系compatible 吗？

只要这个检查：

把这根只有两端是点的线折断，会发生什么？

出现两段线。

这样，就有四个端点。

那么，这多出来的两个点在线上吗？

当然在。这多出来的两个点是谁装上去的吗？

当然不是。

是从空中变戏法一样突然出现的吗？

当然不是。

那它们从哪儿来？

只能是从原来的线上来。

那么，原来所谓的“空线”就根本不空。只是因为每个点左右各有相临点，看不出来点的存在而已。

看不出来等于没有吗？

自己想。

如果这还不清楚，还可以请舞网友随便确定直线上的两个或者N个点，再在其中两点之间把线折断，线会缩短到舞网友选的点上去吗？

不会。

如果是空的，全凭两端的点相连才存在，现在两端的联系已经断了，那么空的线应该不存在了吧，就象手电关了开关光会消失一样，空的线应该消失了吧？

没有。

如果没有消失，还能说线是空的吗？

自己想。

如果这还不清楚，还可以找一个除点器，一次精确地除掉线上的一个点。

那么，当端点被除掉了，原来的线会塌吗？

不会。

会消失吗？

为啥？

自己想。

这个除点器连续工作，把这个线从头到尾给削光了。

剩下的是啥？

削掉的那一堆东西。

是啥？

自己想。

这还不清楚，就把这根线无限切分，变成最短的线段。最短的线段也有两个端点，但是端点中间没有距离（如果有距离，就再分，直到没有距离为止）。这样，线会变成啥？

无数个双点，没有空间。

或者倒过来推也可以：

几何原本为啥从点开始？为啥要规定点没有部分？

如果没有这句话，只规定线有长度没有宽度厚度，两端是点够不够？

当然够。

那么欧老师为啥要啰嗦，搞个毫无用处，还引发争论的点的定义放在最前头呢？

欧老师闲的？

昏头了？

逻辑差？

如果都不是，那么就必然与线有关。

这一点，也可以从后面的面的形成与体的形成的思路中看出来。

 

那么，为什么会有人以为线不是点构成的呢？

第一，因为他们混淆了几何与感观经验。

生活中，比如精确测量时，摆个测量仪，确定个目标点，就可以算“直线”距离了。这根直线上没有尺，也没有点，当然是空的。

拿个激光笔，往哪儿一点，出来一条线，空的。

但欧老师说的是平面几何，他要建立线的长度的规则和方法。因此，无论多空的线，要量，被必须视之为连贯的点。

即便你要测量地球到太阳的距离，中间啥也没有，也必须视之为某长度单位的连续排列。

第二，他们混淆了现实与概念。

欧氏规定的点在现实中是不存在的。无论你搞出多小的点，都会有部分。

因此，欧氏的点是一个概念，是概括，抽象出来的。因此才说它没有部分。

这个没有部分，严格地说，跟无穷小并不是一回事。

无穷小是没有部分的一个例子，而没有部分作为一个概念，在现实中可以对应任何单位。如果我要知道一支铅笔的以厘米为单位的长度，厘米就是“没有部分”（不向下分为更小的单位）的；以毫米为单位的长度，毫米就是被规定为“没有部分”的。

现实中，以厘米为没有部分的单位时，长度就是厘米就是连接着排起来得出的，中间不可能有空间。

当然，你可以想象，量身高时，比如6英尺，但是相监两英尺中有些空间没量出来，下次换个尺子就能量出来。

好玩儿吗？

点，就是这些单位的抽象到极点的单位。

线，有长度的线，怎么可能不是点的连续？

当然，还有最后一种可能，那就是语法。比如下文第一句：

 

直线只有两端。两端之间上下更无一点。

被舞网友拿来当线上无点的证据。

但这不过是误读。或者说，至少要证明线上无点的解读是唯一的。

这种企图面对一个难题，那就是，一个更合理的解读：

直线只有两端，没有三端四端。（更合理的解读是：直线不是只有两端是点，而是只有两个端点）

两端之间（的直线），其上，其下，一个点都没有。更合理的理解是：直线上没有点，直线下也没有点，意思就是直线不拐弯不膨胀。而不是直线上没有点。

如果作者（译者）想说直线上没有点，根本不必说直线下也没有点。

呵呵。

说够了，懂就懂，不懂就不懂吧。

节目快乐！

噢，一个笑话：

我问ChatGPT说中国近代为啥科技成就不如西方，C老师说中国体制和文化不行。

坛上的聪明网友们鄙视这种垃圾说法不？