近来JSL2023网友刮起一股自指旋风。自指是一个令人思绪飞扬的话题。从走向未来丛书的年代，在我心里，自指就与无限纠缠不清，挥之不去，压之益强。如今又被撩拨得性起，索性一吐为快。这个问题说简单，非常简单，简单到古希腊的说谎者悖论，说复杂，非常复杂，复杂到哥德尔不完备性定理。复杂的留到后面，先从简单的说起。

说谎者悖论被古希腊人明确提出，至今有2500年了，人类只是泛泛而谈，并没有切实感受到悖论的直接危害，但切实感受到知识的不确定性。笛卡尔明确提出要为人类知识寻找确定性。他以“我思故我在”为初始公理，把哲学建成一个庞大的公理系统。当从“我思故我在”推出身心二元及唯我论时，笛卡尔的公理系统崩溃了。但是，具体的公理系统崩溃为瑕，公理思想为玉，瑕不掩玉。

随后的数代人仍坚持不懈为人类知识寻找确定性，至上世纪二十年代，这种努力具体化为希尔伯特计划。所谓希尔伯特计划(Hilbert's program)即由德国数学家希尔伯特(David Hilbert 1862/01/23 - 1943/02/14)提出的一个理想计划。这个计划可以视为笛卡尔计划的限定版，仅为数学寻求确定性。彼时意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Plano 1858-1932)已成功地把算术公理化，这让希尔伯特看到把整个数学建成一个的公理系统的希望，进而对未来的公理系统提出一化四性①的期望。集合论比算术更强大，一时间公理化集合论成为整个数学确定性的众望所归。

罗素不愧是大师，善于把复杂的问题简单化。他看到了集合论的根本问题在于自指，并把集合论悖论化归为说谎者悖论和理发师悖论的等价形式。这给希尔伯特计划泼了一盆冷水，在数学界引起一阵骚动。随后出来多个方案试图解决集合论悖论，其中包括罗素的类型论②。对于希尔伯特计划来说，这些解决方案相当于打补丁，而哥德尔的不完备性定理相当于釜底抽薪。如果说前者让他感觉根基动摇的话，那么，后者让他感觉三大皆空。兹好比，李尚福在指挥神X升空，万事具备，倒计时念到五时，下面报告，火箭燃料里发现有水。

罗素悖论说，所有不包含自身为元素的集合的集合导致自相矛盾。悖论本身由自指引起，不涉及无限，而其解决方案类型论却涉及无限。哥德尔第二不完备性定理说，任何协调的形式系統，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就不能用于证明它本身的协调性。形式系统证明它自身的协调性，显然涉及自指，皮亚诺算术公理蕴涵数学归纳法，而数学归纳法涉及无限。在这一意义上，二者有异曲同工之妙，都指向悖论的两个要素，自指和无限。

哥德尔第二不完备性定理非常抽象，一般读者听着如坠五里雾里。如果用“我”来替换“蕴涵皮亚诺算术公理的形式系统”，那末，哥德尔第二不完备性定理可以表述为: 我可以证明别人是协调的，但不能证明自己是协调，如果我可以证明我是协调的，那么我是不协调的。如果还觉得烧脑，我只好使出吃奶的劲。用最形象的话来说就是，抓住头发，我可以将别人提离地面，但无法将自己提离地面，如右图。其实，那人并不想把自己提离地面，即便想且有二指禅神功也无济于事。

罗素的类型论可用图画大致表现如下，

......

假定那个将女孩提离地面的女神又被另一个女孩提离地面，而那个女孩又被另一个女神提离地面，如此反复，无限递归。如果其中有一个脚踏实地，这事就靠谱（有逻辑可能性）。如果没有一个脚踏实地，而其中一个是上帝，这事也靠谱。如果上帝不存在，且在有限的知识范围内，无法得知是否有人脚踏实地，这事就不靠谱(潜在的悖论)。揪住自己的头发，试图将自己提离地面，显然是荒谬的。这种荒谬常被无限所掩盖。正如上面那幅画，只要递归是无限的，过程就没有尽头，找不到尽头，就无法确认荒谬所在。在这一意义上，罗素的类型论本质上是一种无限递归。自指并没有被根除，只是藏身于类型的无限后退之中。

这种无限递归与和尚讲故事的故事异曲同工。从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。老和尚讲的是，从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，...，这个故事可以无休止地讲下去。有正常思维的人听到第三循环时都会意识到这是无聊的圈套，但是，用严格的数学概念伪装起来的形式化系统便能让绝大多数人无休止地听下去，还以为自己在听一个高深的道理。樊映川的微积分一开篇便引用庄子的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。庄子的万世就是无涯的另一种说法。只要切割工具没有厚度，过程就可以永远继续下去。二者大致是相似的道理。没有影射微积分的意思，它是向真理逼近的一种方式。所谓万世不竭，只存于意念，不存于现实。同理，所谓悖论，只存于意念，不存于现实。

Escher的楼梯，两只互画的手等等都是意念的产物，人类的幻觉。现实中最接近悖论的似乎是计算机程序里的恶性循环，关机便能解决问题。因此，两千多年来，人类对悖论只是泛泛而谈，并没有切实感受到直接危害。原因似乎有二。一，没有厚度的切割工具在现实中不存在，且有理性的人能分清具体与抽象。二，人类有直觉，直觉拒斥反直觉的东西。当希尔伯特大力倡导形式主义的时候，布劳威尔(L.E.J. Brouwer 1882–1966)径以直觉主义与之抗衡。结果很明显，哥德尔不完备性定理宣布形式主义破产，逻辑主义③也随之破产，惟直觉主义屹立不倒，步子迈得不大，但坚实有力。

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① 希尔伯特计划包括一化四性

1. 形式化(Formalization) - 所有数学用一种统一的严格形式化的语言，并且按照一套严格的规则来使用。
2. 完备性(Completeness) - 必须证明，在形式化的数学里，所有真命题都可以被证明。
3. 协调性(Consistency) - 必须证明，在形式化的数学里，不可能推出矛盾。
4. 可判定性(Decidability) - 应该有一个算法判定每一个形式化命题的真假。
5. 保守性(Conservation) - 必须证明，如果关于“真实对象”的结论用到“理想对象”来证明，那么不用“理想对象”依然可以证明该结论。

形式化被一阶谓词逻辑局部实现，保守性本质上是奥卡姆剃刀原则的翻版，很少被人提及。哥德尔不完备性定理主要涉及完备性，协调性，可判定性，得出的结论令希尔伯特心如冰窖。它说，

1. 用一个形式系统将整个数学形式化是不可能的。
2. 皮亚诺算术公理系统尚无法证明自身的协调性，遑论比它更强的集合论。
3. 在任何蕴涵皮亚诺算术公理的形式系统里，不存在可以判定每一个形式化命题真假的算法。

② 类型论
在Principles of Mathematics (1903)里，Appendix B首次系统阐述The doctrine of types。抽掉技术细节，大意是，对象(object)分等级，个体(individual)是最低等级的对象，个体与由个体组成的类是不同类型的对象，类不能是自身的元素。因此，在引进新符号时，必须同时指明其类型。类型论对类的等级数量没有限制，因而对无限敞开了大门。

③ 逻辑主义
试图将整个数学的确定性寄托于数理逻辑。具体说来，从一组有限的逻辑公理出发，按逻辑规则，推出整个数学。遗憾的是，Principia Mathematica的公理集合里并非都是形式公理。尤其是，无穷公理(axiom of infinity)，选择公理(axiom of choice)和化归公理(axiom of reducibility)，其地位受到广泛质疑。无穷公理对应于皮亚诺的后继，相当于在公理层面上引进无限。选择公理直接来自集合论。化归公理允许压平类型的等级，相当于给严格的类型开了后门，被极力排除的自指随时都可能摸回来。