榕城老应

原来故事解答中虚拟的假设推理被引用的关系比较隐晦，我们再从局中人的角度来看是怎么完成这个的推理。

这故事里有三个人脸脏了，分别记为甲，乙，丙。甲只看到乙和丙两个脏脸。他看不见自己的脸。甲想：我要是干净的，乙只能看到丙的那个脏脸。甲再从这个设想中乙的角度来思考：乙要是觉得自己没脏，那么乙可以推测丙看到所有人脸就是干净的。这时甲猜测中的乙又从丙的角度来思考：丙知道“至少有一个人脸脏了”，他却看到所有人脸都是干净的，那他就知道自己的脸脏了。

注意上面“至少有一个人脸脏了”这个知识，是在甲从设想中乙，设想中的乙又从设想中丙的推理中被引用的。所以这个知识必须是：“甲知道（乙知道（丙知道的知识））”，这有三阶彼此的知识的深度。 “至少有一个人脸脏了”是三阶彼此的知识就足够了。如果是公共知识，当然是没问题被引用。我们后面再谈它怎么成了公共知识。

可是女招待催促后，丙没反应。这说明前面推理中的假设出错了，不管什么地方出错，丙一定是看到脏脸了，他才不能猜出自己。甲能够推想出乙有这个知识了。所以“甲知道（乙知道（丙看到一个脏脸））”。甲和他设想中的乙都知道丙的脸是脏的，所以“至少有两个脏脸”是甲知道（乙知道的知识）。

到了女招待第二次催促时，甲还想：我要是干净的，乙只能看到丙的那个脏脸，但乙知道至少有两个脏脸了，他该出来招认呀。结果还是没有。甲才知道自己的假设完全错了，自己的脸是脏的，乙也看到两个脏脸了。

上面甲乙丙的记号是随便取的，所以三个脏脸人，每个都按照甲的思路来考虑，他们也就同时明白了，在第三次催促中出来擦脸。至于其他脸没脏的人，他们看到的是三个脏脸，推理又深了一层，在第三次催促前还不能判断自己的状况。到了这三人都擦了脸才知道自己脸没脏。

那女招待说了一声后，这“至少有一个人脸脏了”是怎么成了公共知识？因为女招待的话是对大家说的，谁都有这知识了，谁也知道别人听到这知识了，这都能推测出“张三知道（李四知道（王五知道这知识））”，如此等等直到无穷，这就是公共知识了。

那大家眼睛都看到的事实，怎么不是公共知识呢？每个人都看到了脏脸，没错这“至少有一个人脸脏了”是“一阶彼此的知识”。脏脸的甲，从脏脸乙角度看去，也能确定乙看到脏脸丙。所以甲知道（乙知道这知识）。每个人都可以用这个逻辑推想，所以这也是“二阶彼此的知识”了。但是甲从乙，乙再从丙的角度来看，因为甲乙丙都不能确定自己的脸，而除此之外再无脏脸，所以这套在这里面的丙无法知道有没有脏脸，即“甲知道（乙知道（丙知道这个知识））”不成立。没有了这个知识，故事中女招待第一次催促前的的假设推理就不能进行到底。这大家眼睛看得到的知识，连三阶彼此的知识都够不上，就更不是公共知识了。

看三个帖子到了这里的人，要是对进一步了解公共知识的理论感兴趣，可以看下面。

【参考文献】

Aumann RJ (1999) Interactive epistemology I: Knowledge. International Journal of Game Theory 28: 263±300

http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Interactive%20epistemology1.pdf

Aumann RJ (1999) Interactive epistemology II: Probability. International Journal of Game Theory 28:301±314

http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Interactive%20epistemology2.pdf

Vanderschraaf, Peter and Sillari, Giacomo, "Common Knowledge", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.),
http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/common-knowledge/

【公共知识的一种定义】

We can now define mutual and common knowledge as follows:

Definition
Let a set Ω of possible worlds together with a set of agents N be given.

1. The proposition that A is (first level or first order) mutual knowledge for the agents of N,K¹_N(A), is the set defined by

K ¹ _N (A) ≡ ∩ _{i ∈ N} K _i (A).

2. The proposition that A is m^th level (or m^th order) mutual knowledge among the agents of N,K^m_N(A), is defined recursively as the set

K ^m _N (A) ≡ ∩ _{i ∈ N} K _i (K^m−1_N(A)).

3. The proposition that A is common knowledgeamong the agents of N,K^*_N(A), is defined as the set