对非线性薛定锷方程的一点浅显认识 (仅限于NLSE孤子)欢迎大家来讨论一下nonlinear Schrödinger equation，Ginzburg-Landau equation和Gross-Pitaevskii equation 之间的联系和区别 我的理解是NLSE是最普遍的，后面两个是它的推广。NLSE能描述的孤子态最少，只能亮或者暗的，没有两个共存的情况。而且NLSE描述孤子态的是哈密顿孤子，没有损耗和增益，一碰到损耗就死。nonlinear Schrödinger equation iψt = −½ψxx + κ|ψ|2ψ.NLSE中亮孤子的严格条件是：色散（时间光孤子）或者自聚焦介质（空间光孤子）。NLSE中暗孤子严格条件是：正色散（时间光孤子）或者自散焦介质（空间光孤子）。GLEQ用于超导体和光孤子，GPE用于BEC中的孤子态。GLEQ倒是和GPE很像，而且它们描述的孤子态 之间有对应关系。GLEQ中亮孤子非严格条件是：负色散（时间光孤子）或者自聚焦介质（空间光孤子）。只所以称为非严格条件是：因为我们最近在正色散的光纤中也发现了亮孤子 (Optics Express, Vol. 17, Issue 2, pp. 455-460)。依次类推，自散焦介质中也可以看到亮孤子，只是没人看到。GLEQ中暗孤子非严格条件是：正色散（时间光孤子）或者自散焦介质（空间光孤子）。依次类推，在负色散或者自散焦介质中也可能看到暗孤子，只是现在没有人看到。BEC中亮孤子条件是：冷原子间吸引力。BEC中暗孤子条件是：冷原子间排斥力。依次类推，尽管原子间只有排斥力，但是也可以看到亮孤子，这个在nature上最近有报道。当冷原子间只有吸引力，如果在外加磁场的作用下，观察到了暗孤子。这样看来，BEC中孤子态的研究反而超前于光孤子。因为，BEC中的孤子理论已经完全颠覆了NLSE中的经典孤子理论。Gross-Pitaevskii equationi\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r})}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r}) .类比关系，BEC中的粒子间排斥力就相当于色散（时间光孤子）或者折射率（空间光孤子）如果考虑到了非线性系统的多维性，多体性，损耗，增益以及孤子态之间的非线性耦合作用等等因素，就不能用NLSE，必需用扩展式GLEQ或者扩展式GPE。并且，这个扩展式GLEQ或者扩展式GPE可以完全颠覆NLSE所描述的经典孤子理论：出亮孤子的地方可能出暗的，出暗的地方也可能出亮的。假如考虑到了孤子态的矢量特性，多一个自由度会更加复杂。但是它们的物理本质是不会变的：GLEQ中得出的结论可以完全套到BEC中的孤子态，反之亦然。本文标签： 论文 物理 理论 光学 孤子