公理化的好处在哪里呢？我们来通过几个例子体会一下。

例子1：还是抛硬币，这里，我们的样本空间S={H, T}, 事件空间F={空集，{H}, {T}, S}, 概率测度P(空集）= 0， P({H})=P({T})=1/2, P(S)=1.请验证这样的定义确实满足概率空间所有的要求。

例子2：离散的有限空间: S={1，2，3，。。，k}, F=2^S (S的所有子集的集合，叫做幂集合），对于任何的1<=i<=k, P({i})=1/k.（对比这个定义和前面提到的古典概率的定义）也请验证这样的定义是可行的（S还有许多别的子集, 上述定义是自恰无矛盾的。）。

例子3：以自然数集为样本空间，这一次很显然我们不可能指望在有均匀的权重了，但是如果我们定义P({i})=2^(-i)的话，那么因为sum(2^(-i), i= 1 to infinity)=1而且是绝对收敛的，所以S={1,2,...}(所有自然数），F=2^S, 以及上述P可以构成一个概率空间。实际上任何一个收敛到1的正项级数都可以用来取代上面这个指数级数而构成一个合法的概率空间，因为他们是绝对收敛的。

例子4：连续的样本空间：S=[0,1], F={[0,1]上的Borel集}，P=勒贝格测度；那么因为P([0,1])=1,所以（S, F, P)是一个概率空间。在这个概率空间里，我们看到P(空集）=0，P({x})=0, 对于任何0<=x<=1,因为根据定义P({x})=P([x,x])=x-x=0.
进一步，我们看到，对于Q={[0,1]上的有理数}，P(Q)=0,因为Q=所有[0，1]上的有理数单点集的可数并，而且前面已经证明了每一个单点集的测度为0。
所以，对于集W={[0,1]上的无理数}，P(W)=1. (为什么？）
另外，作为一个简单的练习，请大家举出一个P测度为0的不可数集来。

定义：一般的，对于测度空间（S, F, P), N={s|P(s)=0}成为它的Null Space, N的元叫做Null Set. （抱歉，这两个词的恰当中文翻译偶不知道，不敢乱编。）

现在我们可以引入非常核心而且有用的概念：
定义（随机变量）：对于概率空间(S,F,P), 可测函数X:S-->R叫做（实值的）随机变量。

关于随机变量的各种性质的研究形成了概率理论的核心。其中最简单也是最重要的就是它的平均值---数学期望：
定义（数学期望）：X是概率空间(S,F,P)上的随机变量，E(X)=X在S上对于测度P的勒贝格积分，E(X)叫作X的数学期望。

例子5：（indicator function)有一类极其简单却又极其重要的随机变量，
我们以I_a(.)来表示：对于某个F的元a(事件），I_a(s)=1 (如果s属于a) 或者 0（其他）。这个随机变量叫做a的indicator function，它的数学期望E(I_a)=P(a).

定义（独立事件）：事件a,b叫做独立的，如果P(a交b)=P(a)*P(b).

定义（独立变量）：随机变量X,Y叫做独立的，如果对于R上任何Borel集A,B,事件{X属于A}和事件{Y属于B}都是独立的。

对于独立的随机变量X,Y，我们有重要的性质E(X*Y)=E(X)*E(Y).

————————————————————————————

嗯，写到这里，我觉得我应该停住了，不然就成了抄写教科书了----读了这些介绍的朋友们，如果有兴趣深入学习概率论，我推荐如下两本书：

对于非数学专业的朋友，我听说过：A Natural Introduction to Probability Theory (Kindle Edition) 作者是 Ronald Meester。 书中不涉及测度理论，但是覆盖了很多有用的问题。我没有读过，只是想象，对于不愿意花费时间学习测度理论的朋友们，这样可能实际一些。

对于数学专业的朋友，我比较喜欢：A Course in Probability Theory Revised 作者是有趣的Kai Lai Chung 呵呵，偶喜欢这本书倒不是因为他是个华裔，主要是我个人比较喜欢这本书简洁清晰的风格。关于Chung本人，估计大家都有不少好笑的故事，以后有空可以分享：）

接下来，如果有空的话，偶可能会简单的写写现代概率理论的分支和应用。如果动态老大愿意帮忙写一些，就更好了 ：）