如果我们承认Black Scholes的假设，那么所有衍生合同（derviative)的价格，包括Leveraged ETF和Option，必须遵守下面的 Black Scholes 微分方程。



在上面这方程里，V 是衍生和同的价格， S 是原来underlying asset的价格，sigma 是 价格的volatility，r 是利率， t 是时间。为了简单起见，我们假设利率为0，那么这方程就简化为：

dV/dt = -(1/2) * sigma^2 * S^2 * d^2V/dS^2.

注意 dV/dt 就是 theta --- decay，而价格二阶导 d^2V/dS^2 就是 gamma, 于是我们得出：

decay = -0.5 * volatility平方 * 价格平方 * gamma.

这个公式给出了衍生合同decay的标准计算，它是对所有衍生和同，包括leveraged etf和期权，都成立。

在这里特别看一下JNUG, 假设GDXJ的价格是x, JNUG的价格是y, 做为三倍leveraged的etf, 我们有：

dy/y = 3 * dx/x.

解上述简单常微分方程， 我们有 y = C * x^3， 这里 C>0 是一常数。在此我们可以看到 JNUG 的价格和 GDXJ 的价格不是线性关系，而是3次方关系，这就说明 y 对 x 的二阶导是大于 0 的，用 trader 的语言就是 long gamma. 从上面 Black Scholes 公式可以看出 decay 的存在。

一般讲 long gamma 必然要付 decay， 这在理论上是公平的， 但一般散户由于种种原因不能充分利用 gamma 使得 gamma 白白浪费同时要付 decay，这样长期持有leveraged etf变成一个头疼的事。关于如何从期权， leveraged etf种提取 gamma value， 以后有时间再吹吧。