第三章 划过代数理论夜空的流星

——伽罗华的早逝和群论的命运

埃．伽罗华（E.Galois，1811－1832）创立了具有划时代意义的数学分支—
—群论在数学发展史上作出了重大贡献。但是，他在还不到21岁的时候就与世长辞
了。剖析伽罗华短促而坎坷的一生，对于我们如何对待人才，怎样发展科学，具有
一定的启发作用。

伽罗华是法国巴黎郊区布尔—拉—林镇镇长的儿子。12岁之前受他母亲教育的，
在这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。1923年他离开了双亲，考入巴
黎预科学校路易—勒—格兰学院（皇家中学），从而开始接受正规学校的教育。在
第三年，他报名选学了第一门数学课。由于他的老师深刻地讲授，伽罗华对数学产
生了浓厚的兴趣，他很快地学完了通常规定的课程，并求教于当时的数学大师。他
如饥似渴地阅读了A．M．勒让德的著作《几何原理》和T．L．拉格朗日的《代数方
程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》。由于他刻苦学习，能着重领会
和掌握其中的数学思维方法，因引，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的
思维能力得到了训练和提高。他的中学数学专业班的老师里查说“伽罗华只宜在数
学的尖端领域工作”。1829年3月他在《纯粹与应用数学年报》上发表了他的第一
篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。这时他还是一位中学生。他曾先后
两次参加综合技术大学的入学考试，结果都落第了。1829年7月2日，正当他准备入
学考试的时候，他父亲由于受不了牧师的攻击、诽谤、自杀了。这些遭遇都给伽罗
华带来了不幸。1829年10月25日，他只被师范大学录取为预备生。

当伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题。
我们知道，一般的二次方程的解，要求对系数的一个函数求平方根。要得出三次方
程的一般解，要求对系数的函数开立方。一般的四次方程的解，要求开四次方。一
般的五次方程的解是否也能用加减乘除开方这五种运算的代数方法从方程的系数得
出呢？许多人为之耗去许多精力，但都失败了。直到1770年，法国数学家拉格朗日
对上述问题的研究才算迈出重要的一步。他精心分析了二次、三次、四次方程根式
解结构之后，提出了方程的预解式概念，并且进一步看出预解式和诸根排列置换下
形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后，
挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论给出了高于四次的一般代数方程的代数求解公
式不存在的严格证明。伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法，从系统
结构的整体上彻底解决了根式解的难题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化
的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步
发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上。高
斯早就预见到代数方程的根式解的问题终归为二项方程的求解问题。伽罗华仔细分
析了具有根式解的二项方程作为“预解方程”时所对应的置换子群的特征。结果他
发现，如果一个群可以生成一系列极大正规子群，而它们的合成因子是质数，则该
群是可解的。当大于四次的代数方程所对应的群的合成因子就不全是质数，因而五
次及高于五次的代数方程有些是不能用代数方法解出的。

　　1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，他把关于群论研究所初步结果
的第一批论文提交给法国科学院。科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这
些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行
一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于
年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家。我很贵憾未能出席今天的会议，希望你
安排我参加下次会议以讨论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他
自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作。为什么会发生这样的事情？这是值得
研究的一个问题。1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去
了。以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，
但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽
罗华递交的两次数学论文都被遗失了。

人们由于受已有经验、旧传统观念和偏见的束缚，往往产生出一种墨守陈规的
倾向和不愿接受新鲜事物的惰性。我们认为：柯西之所以原先打算讨论伽罗华所提
供的报告，以后又不了了之，很可能是他思想的偏见所致，领会不了伽罗华在数学
上具有革命性的新思想。在伽罗华之前人们考虑方程求解问题，基本是一个方法一
个方法孤立地去解决，解次数不同的方程，用不同的方法。直到拉格朗日开始，才
注意到解各种代数方程的方法之间的联系，并用根的置换理论看清了以前各种解法
之间的统一性。拉格朗日这种从整体上考虑问题的新的思想萌芽被伽罗华接受过来，
并大大发展了，产生出新的思想——系统结构的整体思想。把孤立地考虑方程求解
的问题归结为数学新的对象——群及其子群的结构性质分析上去，这就从局部考虑
问题上升到整体考虑问题。这是以前数学家考虑问题不曾有的一种具有革命性的新
思想，从而开拓出群论这个新的数学研究领域。

　　1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，
他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作。当时的数
学家S．K．泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁。尽管借助于拉格朗日已证明的一个
结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。

　　对事业必胜和信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失，得不到应
有的支持，但他并没有灰心，他坚信他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播
出去，还进一步向更广的领域探索。伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王
朝的复辟时期，又赶上路易．腓力浦朝代初期。他是当时最先进的革命政治集团—
—共和党的成员。这时法国激烈的政治斗争吸引了年轻热情的伽罗华，他先后两次
被捕入狱，并且被学校开除了。第二次被捕是1831年7月14日，直到1832年4月29日
才出狱。不久，由于参加无意义的决斗受重伤，于5月31日离开了人间。在他临死
的前一夜还把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从
而使他的劳动结晶流传后世，造福人类。

　　伽罗华的重大创作在生前始终没有机会发表。直到1846年，也就是他死后14年，
法国数学家刘维尔才着手整理后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上，自此，
伽罗华的重大贡献才逐渐为人们所了解。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，
写了《论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。
今天由伽罗华开创的群论，不仅对近代数学的各个方面，而且对物理学、化学的许
多分支都产生了重大的影响。

伽罗华及其所创立的群论蒙难的历史事实深刻地告诉我们：作为在学术上有杰
出贡献的老一辈科学家，一定要积极热情地鼓励和支持年青一代的科学研究成果。
要发扬“甘当梯子”的精神，让年青科学工作者“踩着自己的肩膀”攀登到科学的
顶峰。就是说，对于创造活力的青年人，作为老一代的科学家就应该像园丁培育芳
草一样去精心浇灌，对于他们在创造过程中出现的这样或那样的问题应该耐心地予
以指教，有的问题应与他们一块去思考，共同去完善提高它。不要怕青年人超过自
己，要欢迎他们超过自己。同时青年人也要尊重老一代科学家，虚心学习他的长处，
主动取得他们的支持和帮助。只有这样，才能各自发挥所长，共同攻关，携手前进，
为迅速发展科学事业做出更大的贡献。