孙子问题与中国剩余定理


    秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本 营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百 骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们 宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神 机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

    在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：
   “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.

    这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.

 

例1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
解：（1）先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
（2）再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28，….
这两列数中，首先出现的公共数是8。
3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，
（3）列出这一串数是8， 23， 38，…，
（4）再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，…，
就得出符合题目条件的最小数是23.

 

例2、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

解：（1）除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….
（2）除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….
（3）这两列数中，首先出现的公共数是5。
3和4的最小公倍数是12，两个条件合并成一个就是5＋12×整数
同时满足两个条件的数是5、17、29、……（依次增加12）
因此这个数除以12的余数是5.


例3、今有物不知其数，二二数之余一，四四数之余三，五五数之余二，七七数之余三，九九数之余四，问物几何？

解：（1）九九数之余四,可能的数是：13，22，31，40，49，58，……
（2）七七数之余三,可能的数是：10，17，24，31，……
（3）这两列数中，首先出现的公共数是31。
9和7的最小公倍数是63，两个条件合并成一个就是31＋63×整数
（4）同时满足上两个条件的数有：31，94，157，220，283，346，409，472，535，598，661，724，787，……
（5）上列的数中，只有157满足五五数之余二,
    5、7、9的最小公倍数是315，
（6）满足上面三个条件的数有：157，472，787，……
（7）只有787满足二二数余一，四四数余二。
所以，满足条件的数最小的是787。


练习：
1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小数？
2、满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小自然数。
3、在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有多少个？
4、求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。
5、一卷彩带，如果剪成2分米或3分米或5分米或6分米都剩1分米，如剪成每段为7分米正好不剩。这卷彩带至少多少米？
6、一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
7、有一堆苹果，3个3个数余1个，5个5个数余2个，6个6个数余4个。这堆苹果至少有多少个？
8、在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大自然数是多少？
9、在5000以内，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然数有多少个
10、有一个两位数，除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数。