是“授之以鱼”还是“授之以渔” ? 自己教孩子，一是让她掌握必备的知识，二是培养思维能力。掌握知识是必需的, 知识是思维的基础。在实际生活中知识从来就是不完全的, 所以我们需要思维。学数学的过程正是在潜移默化中培养孩子的思维能力。
我把重心放在孩子学习的过程, 关键在于不是为做题目而做题目，也不是为学习而学习，更不是为考试而考试, 而是在学习的过程中培养孩子的思维能力和开发孩子的潜能。
问题是思维的起点，发问对于培养孩子是很重要的。孩子的天性中对这个奇妙世界原本有着无数个“为什么”, 我有意识地引导她把被动学习转化成主动学习，鼓励她多问几个为什么, 鼓励她积极思考, 鼓励她带着问题去学, 并与她一起去寻找答案。
举个例子, 当她学 Divisibility and Remainder 时, 我问女儿下面一系列问题:
为什么一个数 12345, 如果数字和 1+2+3+4+5 是 3 的倍数，那么它就是 3 的倍数 ?
接下来的问题: “ 同样的道理由此得出 9 的倍数是什么 ?”
再接下来的问题是: “ 能否一眼看出 12398671999999 和 77457932199999 ，这两个数中哪个数是 3 的倍数？ ”
再进一步的问题是: “ 如何一眼看出 12398671999999/9 的余数是什么 ?”
更进一步的问题是: “ 为什么上述问题计算余数的方法如此简单? 为什么可以这样做 ?”
对第一个问题 , 我先证明如下:
12345 = 1*10 4 + 2*10 3 + 3*10 2 + 4*10 + 5
= 1*(10 4 -1) +1 + 2*(10 3 -1) +2 + 3* (10 2 -1) +3 + 4 *(10-1) +4 +5
= 1*9999 + 2*999 + 3*99 + 4*9 +1+2 +3 +4 +5
因为 9999, 999, 99, 9 都是 3 的倍数,
所以 1*9999 + 2*999 + 3*99 + 4*9 是 3 的倍数。
因此, 如果 1+2+3+4+5 是 3 的倍数, 那么12345 就是3 的倍数。
然后就接下来的问题: “ 由此得出 9 的倍数是什么? ” 我让女儿自己证明一下。因为同样的道理 9999, 999, 99, 9 都是 9 的倍数 , 她马上证明出来了。
再接下来的问题是: “ 能否一眼看出 12398671999999 和 77457932199999 ，这两个数中哪个数是 3 的倍数？ ”
即如何快速得知数字和 7+7+4+5+7+9+3+2+1+9+9+9+9+9 是 3 的倍数 ?
是简单地机械式将这些数字相加吗? 不是的!
因为 7+7+4+5+7+9+3+2+1+9+9+9+9+9+9 = 7*3 + (4+5) +9 +3 +(2+1) +9+9+9+9+9+9
其中每一项 7* 3, (4+5) , 9, 3, (1+2) 都是 3 的倍数, 所以它就是 3 的倍数, 根本不需要计算和是多少。
再进一步的问题是: “ 如何一眼看出 12398671999999/9 的余数是什么 ? ”
方法非常简单: 12398671999999/3 的余数也就是 (1+2+3+9+8+6+7+1+9+9+9+9+9+9)/9 的余数。
和上面问题同样的道理, 绝对不要机械式将这些数字相加 ,
因为 1+2+3+9+8+6+7+1+9+9+9+9+9+9=1 + (2+7) +(3+6) +9 +(8+1) +9+9+9+9+9+9
除了其中一项 1 以外, 其它每一项 (2+7), (3+6), 9, (8+1) 都是 9 的倍数, 所以一眼便知 12398671999999/9 的余数是 1 。
对更进一步的问题: “ 为什么上述问题计算余数的方法如此简单? 为什么可以这样做?”
我留给她去琢磨和思考, 问她你能证明出来吗? 她马上证明出来了。
我发现女儿在学校从来不做证明题。比如学数的整除和余数时, 学校的要求是只要知道规则就可以了。 为什么我却偏偏唱反调, 多此一举去证明枯燥的数学定理和公式, 让女儿搞得一清二楚呢 ? 我之所以如此重视数学定理和公式, 是为了启发女儿积极思考问题, 要求她不仅要知其然还要知其所以然, 因为培养思维能力远远比灌输知识重要得多！
仅仅死记“ 被 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, … 25 整除的数定理 ” 不仅 boring, 而且很难理解, 学过就忘记了。真因为证明了“为什么一个数 12345, 如果数字和 1+2+3+4+5 是 3 的倍数，那么它就是 3 的倍数 ?” 女儿才会触类旁通, 同样的道理由此显而易见得出 9 的倍数是什么。这样一来不但容易理解, 而且不会忘记。一个朋友对我说: “ 真佩服你的记忆力, 怎么这些定理和公式你还记得? ”其实我做过的题目全忘了，只是我喜欢打破沙锅问到底, 那时我也证明过, 所以二十多年后还记得清清楚楚。
正因为证明了什么数是 3 的倍数后, 由此得到启发 : “ 若一个算式中的每一项能被某一个数整除, 那么其和就能被某一个数整除。” 所以运用此原理, 便能一眼看出 77457932199999 是 3 的倍数, 根本不需要计算和是多少。
正因为通过证明 3 的倍数定理, 知道了“若一个算式中的每一项能被某一个数整除, 那么其和就能被某一个数整除。” 进一步运用此原理, 一眼便知 12398671999999 /9 的余数是什么, 大大简化了余数的运算。
学数学时, 将概念、定理和公式搞得清清楚楚之后, 一点就通, 数学也就越学越简单, 越学越容易。上面的 5 个例子说来说去, 翻来复去要搞清楚的就是“为什么一个数 12345, 如果数字和 1+2+3+4+5 是 3 的倍数，那么它就是 3 的倍数?” 以及反复运用“若一个算式中的每一项能被某一个数整除, 那么其和就能被某一个数整除。” 就是如此简单的两句话学通了学透了之后, 就能触类旁通, 举一反三, 融会贯通上述一系列问题。
就学数学来讲, 并不在于做过多少题目或者会解几道难题, 因为题目永远是做不完的。关键是不仅要知其然还要知其所以然, 能不能触类旁通举一反三, 将所学的东西真正变成自己的能力, 即融会贯通所学知识, 进一步培养和提高综合逻辑思维的能力。
